Pré-Vestibular

Sendo 𝑐 um número real, considere a função afim 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 𝑐, definida para todo número real 𝑥.

Determine todos os valores de 𝑐 para os quais a função 𝑔(𝑥) = log(𝑥𝑓(𝑥)+ 𝑐) esteja definida para todo número real 𝑥.

Na resolução comentada da UNICAMP eles dizem: "Como o gráfico da função quadrática 𝑞(𝑥) = 2𝑥² + 𝑐𝑥 + 𝑐 é uma parábola com a concavidade voltada para cima, para que 𝑞(𝑥) seja sempre positiva, a equação 𝑞(𝑥) = 0 não pode ter solução real, ou seja, seu discriminante deverá ser negativo."

Essa parte é que me deixou mais confuso, mas peço que realize toda a resolução detalhada para meu melhor entendimento.

Resposta

0 < 𝑐 < 8

[tex3]g(x)=\log[x\cdot f(x)+c][/tex3]

[tex3]g(x)=\log[x(2x+c)+c][/tex3]

[tex3]g(x)=\log[2x^2+cx+c][/tex3]

Tratando-se de uma equação do segundo grau com concavidade para cima (coeficiente do termo de grau 2 positivo), a equação tem valores positivos para além da raízes e negativos entre elas.

Sendo logaritmando, [tex3]2x^2+cx+c[/tex3] deve ser um número positivo. Logo, não pode ter raízes reais e isso ocorre quando [tex3]\Delta<0[/tex3] .

[tex3]\Delta<0[/tex3]

[tex3]b^2-4ac<0[/tex3]

[tex3]c^2-8c<0[/tex3]

[tex3]c(c-8)<0[/tex3]

[tex3]c(c-8)[/tex3] será negativa quando [tex3]c>0[/tex3] e [tex3]c-8<0\therefore c<8[/tex3]

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