Pré-Vestibular ⇒ (UFG-GO) Função Polinomial do Segundo Grau Tópico resolvido

[Holanda1427]

Uma fábrica de calçados produz um determinado tipo de sandália, e o custo total de fabricação é de um custo mensal fixo de R$ 4000,00 mais R$ 8,00 para cada par produzido. O preço de venda de cada par depende da quantidade produzida e é dado pela função f(x) = 40-[tex3]\lambda x [/tex3]

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[tex3]\lambda x [/tex3]

, sendo x a quantidade de pares produzidos e vendidos e [tex3]\lambda [/tex3]

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[tex3]\lambda [/tex3]

é o desconto dado em cada par de sandália.
Considerando-se que o lucro mensal, L(x), da empresa é a diferença entre o faturamento e o custo total de fabricação, calcule o valor do desconto [tex3]\lambda [/tex3]

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[tex3]\lambda [/tex3]

para que a empresa obtenha um lucro máximo vendendo 3200 pares de sandálias produzidos.

Obs.: Por favor, resolver com o máximo de detalhes para melhor entendimento, agradeço.

[Planck]

Olá Holanda1427,

Inicialmente, como foi mencionado que precisa-se obter um valor máximo, devemos nos atentar para o fato de que, em algum momento, vamos calcular o vértice da parábola. Mas antes, vamos descobrir a parábola. Podemos obter a equação da parábola pela relação com o lucro:

[tex3]\ \ \ \ \text{ L}(x) = \text{R}(x) - \text{C}(x) \, \, \, \, \implies \, \, \, \, \text{ L}(x) = x \cdot \underbrace{(40 - \lambda \cdot x)}_{\text{preço}} - 4000 - 8 \cdot x \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \,\\ \text{ L}(x) = 40 \cdot x - \lambda \cdot x^2 - 4000 - 8 \cdot x \, \, \iff \, \, \boxed{\text{ L}(x) = - \lambda \cdot x^2 + 32 \cdot x -4000}[/tex3]

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[tex3]\ \ \ \ \text{ L}(x) = \text{R}(x) - \text{C}(x) \, \, \, \, \implies \, \, \, \, \text{ L}(x) = x \cdot \underbrace{(40 - \lambda \cdot x)}_{\text{preço}} - 4000 - 8 \cdot x \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \,\\ \text{ L}(x) = 40 \cdot x - \lambda \cdot x^2 - 4000 - 8 \cdot x \, \, \iff \, \, \boxed{\text{ L}(x) = - \lambda \cdot x^2 + 32 \cdot x -4000}[/tex3]

Para o lucro máximo, vamos calcular o [tex3]x_{\text {v} }[/tex3]

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[tex3]x_{\text {v} }[/tex3]

:

[tex3]x_{\text {v} } = \frac{-b}{2 \cdot a} = \frac{16}{\lambda}[/tex3]

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[tex3]x_{\text {v} } = \frac{-b}{2 \cdot a} = \frac{16}{\lambda}[/tex3]

Quando o [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

(número de pares de sandálias produzidos) é máximo, temos o lucro máximo. Mas, foi dito que:

um lucro máximo vendendo 3200 pares de sandálias produzidos

Portanto:

[tex3]3200 = \frac{16}{\lambda} \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, {\color{forestgreen}\boxed{\lambda = 0,005}}[/tex3]

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[tex3]3200 = \frac{16}{\lambda} \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, {\color{forestgreen}\boxed{\lambda = 0,005}}[/tex3]

[Holanda1427]

Tenho uma última dúvida na função quadrática:
Porque ficou 32x ao invés de 48x? O 40x e o 8x não são positivos? Agradeço o auxílio

[Planck]

Tenho uma última dúvida na função quadrática:
Porque ficou 32x ao invés de 48x? O 40x e o 8x não são positivos? Agradeço o auxílio

Erro meu, o [tex3]8 \cdot x [/tex3]

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[tex3]8 \cdot x [/tex3]

é, na verdade, [tex3]-8 \cdot x[/tex3]

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[tex3]-8 \cdot x[/tex3]

.