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Repare que eu assumi que o centro da circunferência localiza-se na região interior determinada pelas cordas paralelas. Essa é uma suposição segura, pois, caso não fosse verdade, não existiria solução real para a equação de advém dela.
[tex3]CO=\sqrt{r^2-25}[/tex3]
[tex3]OA=\sqrt{r^2-49}[/tex3]
Logo,
[tex3]\sqrt{r^2-25}+\sqrt{r^2-49}=CO+OA=6[/tex3]
Manipulando a equação convenientemente
[tex3]\sqrt{r^2-25}=6-\sqrt{r^2-49}[/tex3]
[tex3]\sqrt{r^2-25}^2=\(6-\sqrt{r^2-49}\)^2[/tex3]
[tex3]r^2-25=36-12\sqrt{r^2-49}+r^2-49[/tex3]
[tex3]\sqrt{r^2-49}=1[/tex3]
[tex3]r^2-49=1[/tex3]
[tex3]r^2=50[/tex3]
Portanto
[tex3]CO=5[/tex3]
[tex3]OA=1[/tex3]
Com isso,
[tex3]EF=\sqrt{50-EO^2}=\sqrt{50-2^2}=\sqrt{46}[/tex3]
Logo,
[tex3]GF=2\sqrt{46}[/tex3]
Aí agora você pergunta: e se a equação não tivesse solução real?
E eu respondo: bem, isso significaria que o centro da circunferência estaria, na verdade, fora da região determinada pelas paralelas e, portanto, seria necessário pensar em outra forma de resolver o problema.