Pré-Vestibular ⇒ (UECE - 2011) Geometria Plana Tópico resolvido

[reznor]

Em uma circunferência S as cordas XY e WZ são paralelas e as medidas de seus comprimentos são respectivamente 14 m e 10 m. Se a distância entre estas cordas é 6 m, então a medida, em metro, do comprimento da corda em S equidistante das duas primeiras é

A) [tex3]2\sqrt{24}[/tex3]

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[tex3]2\sqrt{24}[/tex3]

B) [tex3]2\sqrt{38}[/tex3]

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[tex3]2\sqrt{38}[/tex3]

C) [tex3]2\sqrt{46}[/tex3]

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[tex3]2\sqrt{46}[/tex3]

D) [tex3]2\sqrt{52}[/tex3]

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[tex3]2\sqrt{52}[/tex3]

Resposta

---

GABARITO: C

[csmarcelo]

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Repare que eu assumi que o centro da circunferência localiza-se na região interior determinada pelas cordas paralelas. Essa é uma suposição segura, pois, caso não fosse verdade, não existiria solução real para a equação de advém dela.

[tex3]CO=\sqrt{r^2-25}[/tex3]

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[tex3]CO=\sqrt{r^2-25}[/tex3]

[tex3]OA=\sqrt{r^2-49}[/tex3]

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[tex3]OA=\sqrt{r^2-49}[/tex3]

Logo,

[tex3]\sqrt{r^2-25}+\sqrt{r^2-49}=CO+OA=6[/tex3]

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[tex3]\sqrt{r^2-25}+\sqrt{r^2-49}=CO+OA=6[/tex3]

Manipulando a equação convenientemente

[tex3]\sqrt{r^2-25}=6-\sqrt{r^2-49}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{r^2-25}=6-\sqrt{r^2-49}[/tex3]

[tex3]\sqrt{r^2-25}^2=\(6-\sqrt{r^2-49}\)^2[/tex3]

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[tex3]\sqrt{r^2-25}^2=\(6-\sqrt{r^2-49}\)^2[/tex3]

[tex3]r^2-25=36-12\sqrt{r^2-49}+r^2-49[/tex3]

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[tex3]r^2-25=36-12\sqrt{r^2-49}+r^2-49[/tex3]

[tex3]\sqrt{r^2-49}=1[/tex3]

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[tex3]\sqrt{r^2-49}=1[/tex3]

[tex3]r^2-49=1[/tex3]

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[tex3]r^2-49=1[/tex3]

[tex3]r^2=50[/tex3]

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[tex3]r^2=50[/tex3]

Portanto

[tex3]CO=5[/tex3]

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[tex3]CO=5[/tex3]

[tex3]OA=1[/tex3]

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[tex3]OA=1[/tex3]

Com isso,

[tex3]EF=\sqrt{50-EO^2}=\sqrt{50-2^2}=\sqrt{46}[/tex3]

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[tex3]EF=\sqrt{50-EO^2}=\sqrt{50-2^2}=\sqrt{46}[/tex3]

Logo,

[tex3]GF=2\sqrt{46}[/tex3]

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[tex3]GF=2\sqrt{46}[/tex3]

Aí agora você pergunta: e se a equação não tivesse solução real?

E eu respondo: bem, isso significaria que o centro da circunferência estaria, na verdade, fora da região determinada pelas paralelas e, portanto, seria necessário pensar em outra forma de resolver o problema.

[Deleted User 23699]

Complementando:

Se supormos que o centro da circunferência não pertence ao semiplano delimitado pelas duas cordas, chegamos numa medida complexa para a corda buscada.

Tem que ter sorte e chutar corretamente que o centro está nesse semiplano