Pré-VestibularUnB- Números complexos Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
andrezza
Veterano
Mensagens: 342
Registrado em: Ter 16 Abr, 2019 11:04
Última visita: 24-09-22
Mai 2019 12 17:05

UnB- Números complexos

Mensagem não lida por andrezza »

Considere que o túnel de luz na figura I seja formado pela sobreposição de cinco anéis de um mesmo cone circular reto – secções obtidas por planos perpendiculares ao eixo do cone –, tendo cada anel altura igual a 2 m, e sendo o maior e o menor raio interno medidos dentro do túnel iguais a 2 m e 4,5 m, respectivamente, conforme ilustrado na figura II. Considere, ainda, que, na figura I, z1 , z2 , z3 e z4 sejam números complexos que satisfazem à equação z4 = 256.
dc49d7036d6ccbbb04b54d8a9f9d13f5.png
dc49d7036d6ccbbb04b54d8a9f9d13f5.png (197.99 KiB) Exibido 1361 vezes
1-Identificado-se o número complexo z = x + iy com o ponto P = (x, y) em um sistema de coordenadas cartesianas xOy, a equação da circunferência que contém os pontos z1 , z2 , z3 e z4 será dada por x2 + y2 = 4.
2- É correto concluir que z1 , z2 , z3 e z4 = 0
Resposta

E C




Avatar do usuário
Planck
5 - Mestre
Mensagens: 2863
Registrado em: Sex 15 Fev, 2019 21:59
Última visita: 28-11-21
Mai 2019 13 00:08

Re: UnB- Números complexos

Mensagem não lida por Planck »

Olá andrezza,

Vamos analisar cada item:
1 ㅤ Identificando-se o número complexo [tex3]z = x + iy[/tex3] com o ponto [tex3]P = (x, \;y)[/tex3] em um sistema de coordenadas cartesianas [tex3]xOy[/tex3] , a equação da circunferência que contém os pontos [tex3]z_1[/tex3] ,[tex3]z_2[/tex3] ,[tex3]z_3[/tex3] e [tex3]z_4[/tex3] será dada por [tex3]x^2 + y^2 = 4 [/tex3]
Sabe-se que:

[tex3]z_1[/tex3] ,[tex3]z_2[/tex3] ,[tex3]z_3[/tex3] e [tex3]z_4[/tex3] são raízes de [tex3]z^4 =256[/tex3] .

Mas:

[tex3]z^4 = 256 \Leftrightarrow |z |= 4[/tex3]

Mas, sabemos que:

[tex3]|z|=\sqrt{a^2 + b^2}[/tex3]

Considere [tex3]a=x[/tex3] e [tex3]b=y[/tex3] , assim, temos:

[tex3]|z|=\sqrt{x^2 + y^2}[/tex3]

Ou ainda:

[tex3]\sqrt{x^2 + y^2}=4[/tex3]

Após elevar ambos lados ao quadrado:

[tex3]x^2 + y^2 = 4^2[/tex3]

Encontramos a equação da circunferência que contêm as raízes [tex3]z_1[/tex3] ,[tex3]z_2[/tex3] ,[tex3]z_3[/tex3] e [tex3]z_4[/tex3] .
2 ㅤ É correto concluir que [tex3]z_1+z_2+z_3+z_4=0[/tex3]
Temos que:

[tex3]z^4 - 256 = 0[/tex3]

Note que é um polinômio de quarto grau. Das relações de Girard, temos que:

[tex3]ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx +e =0[/tex3]

[tex3]x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =- \frac{b}{a}[/tex3]

Ou seja:

[tex3]z^4 + 0 \cdot z^3 + 0 \cdot z^2 + 0 \cdot z - 256 = 0[/tex3]

[tex3]z_1+z_2+z_3+z_4= -\frac{0}{1}[/tex3]

[tex3]z_1+z_2+z_3+z_4=0[/tex3]




Avatar do usuário
snooplammer
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1701
Registrado em: Seg 24 Out, 2016 14:18
Última visita: 23-03-24
Mai 2019 13 00:17

Re: UnB- Números complexos

Mensagem não lida por snooplammer »

Essas questões contextualizadas com complexos, parece o enem se cobrasse complexos, kkkkkjj



Avatar do usuário
Autor do Tópico
andrezza
Veterano
Mensagens: 342
Registrado em: Ter 16 Abr, 2019 11:04
Última visita: 24-09-22
Mai 2019 13 08:33

Re: UnB- Números complexos

Mensagem não lida por andrezza »

Planck, Entendi a resolução, mas nesse caso, como eu faria para descobrir cada número complexo?



Avatar do usuário
snooplammer
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1701
Registrado em: Seg 24 Out, 2016 14:18
Última visita: 23-03-24
Mai 2019 13 08:41

Re: UnB- Números complexos

Mensagem não lida por snooplammer »

andrezza, se o Planck permite, uma dica: [tex3]z^4=256\cis(0^{\circ})[/tex3] , utiliza a 2 Lei de Moivre

Se estiver com coragem faz [tex3](a+bi)^4=((a+bi)^2)^2[/tex3]




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (PAS 3-2016 UnB) Números Complexos
    por amabda53 » » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    852 Exibições
    Última msg por LostWalker
  • Nova mensagem (UnB) Números Complexos
    por ALDRIN » » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    358 Exibições
    Última msg por Deleted User 23699
  • Nova mensagem (UnB-DF) Números Complexos
    por SBAN » » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    165 Exibições
    Última msg por παθμ
  • Nova mensagem Números complexos(Valores dos números)
    por EinsteinGenio » » em Ensino Médio
    4 Respostas
    7543 Exibições
    Última msg por iammaribrg
  • Nova mensagem Números Complexos
    por magben » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    221 Exibições
    Última msg por snooplammer

Voltar para “Pré-Vestibular”