Olá
andrezza,
Vamos analisar cada item:
1 ㅤ Identificando-se o número complexo [tex3]z = x + iy[/tex3]
com o ponto [tex3]P = (x, \;y)[/tex3]
em um sistema de coordenadas cartesianas [tex3]xOy[/tex3]
, a equação da circunferência que contém os pontos [tex3]z_1[/tex3]
,[tex3]z_2[/tex3]
,[tex3]z_3[/tex3]
e [tex3]z_4[/tex3]
será dada por [tex3]x^2 + y^2 = 4 [/tex3]
Sabe-se que:
[tex3]z_1[/tex3]
,[tex3]z_2[/tex3]
,[tex3]z_3[/tex3]
e [tex3]z_4[/tex3]
são raízes de [tex3]z^4 =256[/tex3]
.
Mas:
[tex3]z^4 = 256 \Leftrightarrow |z |= 4[/tex3]
Mas, sabemos que:
[tex3]|z|=\sqrt{a^2 + b^2}[/tex3]
Considere [tex3]a=x[/tex3]
e [tex3]b=y[/tex3]
, assim, temos:
[tex3]|z|=\sqrt{x^2 + y^2}[/tex3]
Ou ainda:
[tex3]\sqrt{x^2 + y^2}=4[/tex3]
Após elevar ambos lados ao quadrado:
[tex3]x^2 + y^2 = 4^2[/tex3]
Encontramos a equação da circunferência que contêm as raízes [tex3]z_1[/tex3]
,[tex3]z_2[/tex3]
,[tex3]z_3[/tex3]
e [tex3]z_4[/tex3]
.
2 ㅤ É correto concluir que [tex3]z_1+z_2+z_3+z_4=0[/tex3]
Temos que:
[tex3]z^4 - 256 = 0[/tex3]
Note que é um polinômio de quarto grau. Das relações de Girard, temos que:
[tex3]ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx +e =0[/tex3]
[tex3]x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =- \frac{b}{a}[/tex3]
Ou seja:
[tex3]z^4 + 0 \cdot z^3 + 0 \cdot z^2 + 0 \cdot z - 256 = 0[/tex3]
[tex3]z_1+z_2+z_3+z_4= -\frac{0}{1}[/tex3]
[tex3]z_1+z_2+z_3+z_4=0[/tex3]