Pré-Vestibular(UnB) Função Trigonometrica Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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andrezza
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(UnB) Função Trigonometrica

Mensagem não lida por andrezza »

(UnB) No período de 7/8/2012 a 13/8/2012, foi determinada a velocidade escalar do vento nas proximidades de um estádio. Os valores medidos mostraram que a velocidade na direção norte-sul, em cm/s, variou de acordo com a função:
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em que t é o tempo em horas após 0 h do dia 7/8/2012 e varia no intervalo [tex3]0\le t\le168[/tex3] . A velocidade do vento aponta no sentido norte se [tex3]v(t) > 0[/tex3] , e, no sentido sul, se [tex3]v(t) < 0[/tex3] . A partir dessas informações, julgue os próximos itens.

1- Infere-se corretamente que a velocidade escalar do vento, na direção norte-sul, repetiu-se diariamente, na semana de 7/8/2012 a 13/8/2012, dado que o período da função v(t) corresponde a 24 horas.
2- Em algum instante, a velocidade do vento atingiu 40 cm/s no sentido sul.
3- No dia 9/8/2012, ao meio-dia, o vento na direção norte-sul soprava a 25 cm/s, sentido norte.
Resposta

C C E




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Planck
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Re: (UnB) Função Trigonometrica

Mensagem não lida por Planck »

Olá andrezza,

Vamos enfrentar algumas transformações:

[tex3]25 \cdot \sen \left( \frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = 25 \cdot \cos\left( \frac{\pi t}{4} \right) [/tex3]

Logo, a função é dada por:

[tex3]v(t) = 25 \cdot \cos\left( \frac{\pi t}{4} \right) + 12 \cdot \cos \left( \frac{2 \pi t}{3} + \frac{\pi}{3}\right) [/tex3]

Podemos fazer que:

[tex3]\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sen a \sen b[/tex3]

[tex3]12 \cdot \cos \left( \frac{2 \pi t}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = 12 \cdot \cos \left( \frac{2 \pi t}{3}\right) \cdot 12 \cancelto{1/2}{\cdot \cos \left( \frac{\pi}{3}\right)} - 12 \cdot \sen\left( \frac{2 \pi t}{3} \right) \cdot 12 \cdot \sen\left( \frac{\pi}{3}\right)[/tex3]

[tex3]6 \cdot \cos \left( \frac{2 \pi t}{3}\right) - 6 \cdot \sqrt3 \cdot \sen\left( \frac{2 \pi t}{3} \right)[/tex3]

A função é, então:

[tex3]\boxed{v(t) =25 \cdot \cos\left( \frac{\pi t}{4} \right) +6 \cdot \cos \left( \frac{2 \pi t}{3}\right) - 6 \cdot \sqrt3 \cdot \sen\left( \frac{2 \pi t}{3} \right)}[/tex3]

Vamos analisar cada termo:
  • [tex3]\cos \left (\frac{\pi t }{4} \right)[/tex3] , se [tex3]t = 8[/tex3] , então [tex3]\cos \left (\frac{\pi \cdot 8 }{4} \right) = 1[/tex3]

    Logo, para [tex3]\forall \, t = 8 \cdot k \; | \; k \in \mathbb Z \Rightarrow \cos \left (\frac{\pi \cdot t }{4} \right) =1[/tex3]
  • [tex3]\cos \left (\frac{2\pi t}{3} \right)[/tex3] , se [tex3]t = 3[/tex3] , então [tex3]\cos \left (\frac{2\pi \cdot 3}{3} \right) = 1[/tex3]

    Logo, para [tex3]\forall \, t = 3 \cdot k \; | \; k \in \mathbb Z \Rightarrow \cos \left (\frac{2\pi \cdot 3}{3} \right)=1[/tex3]
  • [tex3]\sen\left (\frac{2\pi t}{3} \right) [/tex3] , se [tex3]t = 3[/tex3] , então [tex3]\sen\left (\frac{2\pi \cdot 3}{3} \right) =0 [/tex3]

    Logo, para [tex3]\forall \, t = 3 \cdot k \; | \; k \in \mathbb Z \Rightarrow \sen\left (\frac{2\pi \cdot 3}{3} \right)=0[/tex3]
Dessa análise, percebemos que precisamos de um número que sirva para todas situações, podemos fazer o [tex3]m.m.c[/tex3] entre [tex3]8[/tex3] e [tex3]3[/tex3] . Com isso, descobrimos que [tex3]t=24[/tex3] serve em todas situações. Desse fato, podemos afirmar que, para [tex3]t = 24[/tex3] :

[tex3]v(24) = 25 + 6 - 0 \Rightarrow v(24) = 31 \; [cm/s][/tex3]

Portanto, [tex3]24 \; [h][/tex3] é o período da função e assim a afirmativa é correta.


Para o segundo item, basta verificamos se a velocidade está dentro do intervalo possível de valores para [tex3]v(t)[/tex3] :

[tex3]v(t) =25 \cdot \cos \left (\frac{\pi t }{4} \right)+ 6 \cdot \cos \left (\frac{2\pi t}{3} \right)- 6 \cdot \sqrt 3 \sen\left (\frac{2\pi t}{3} \right) [/tex3]

O maior valor ao norte será quando:

[tex3]v(t)_{máx} =25 \cdot 1+ 6 \cdot 1- 6 \cdot \sqrt 3\cdot (-1)[/tex3]

[tex3]v(t) \approx 41, 4 \; [cm/s][/tex3]

Assim, sabemos que o vento possui um maior valor ao norte (ou sul) de [tex3]41, 4 \; [cm/s][/tex3]

Disso, dizemos que a afirmativa é correta.


Para o terceiro item, ao meio dia, no dia [tex3]9[/tex3] , temos [tex3]t=60 \; [h][/tex3] , pois:
  • Dia [tex3]7 - \text{0 a 24 [h]}[/tex3]
  • Dia [tex3]8 - \text{24 a 48 [h]}[/tex3]
  • Dia [tex3]9 - \text{48 a 72 [h]}[/tex3]
Se consideramos apenas metade do dia [tex3]9[/tex3] , será de [tex3]\text{48 [h]}[/tex3] até [tex3]\text {12 [h]}[/tex3] , ou seja, meio-dia. Assim, é suficiente fazer [tex3]v(60)[/tex3] :

[tex3]v(60) =25 \cdot \cos \left (\frac{\pi 60 }{4} \right)+ 6 \cdot \cos \left (\frac{2\pi 60}{3} \right)- 6 \cdot \sqrt 3 \sen\left (\frac{2\pi 60}{3} \right) [/tex3]

[tex3]v(60) =25 \cdot \cos \left (15 \pi \right)+ 6 \cdot \cos \left (40 \pi \right)- 6 \cdot \sqrt 3 \sen\left (40 \pi\right) [/tex3]

[tex3]v(60) =25 \cdot \cos \left ( \pi + 2 \cdot 7 \pi\right)+ 6 \cdot \cos \left ( 0 + 2 \cdot 20 \pi \right)- 6 \cdot \sqrt 3 \sen\left (0 + 2 \cdot 20 \pi\right) [/tex3]

[tex3]v(60) =25 \cdot (-1)+ 6 \cdot 1 - 6 \cdot \sqrt 3 \cdot 0[/tex3]

[tex3]v(60) = -19 \; [cm/s][/tex3]

Isso nos diz que o vento soprava ao sul e com velocidade de [tex3]19 \; [cm/s][/tex3] . Dito isso, a afirmação é errada.




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