Olá
andrezza,
Vamos enfrentar algumas transformações:
[tex3]25 \cdot \sen \left( \frac{\pi t}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = 25 \cdot \cos\left( \frac{\pi t}{4} \right) [/tex3]
Logo, a função é dada por:
[tex3]v(t) = 25 \cdot \cos\left( \frac{\pi t}{4} \right) + 12 \cdot \cos \left( \frac{2 \pi t}{3} + \frac{\pi}{3}\right) [/tex3]
Podemos fazer que:
[tex3]\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sen a \sen b[/tex3]
[tex3]12 \cdot \cos \left( \frac{2 \pi t}{3} + \frac{\pi}{3}\right) = 12 \cdot \cos \left( \frac{2 \pi t}{3}\right) \cdot 12 \cancelto{1/2}{\cdot \cos \left( \frac{\pi}{3}\right)} - 12 \cdot \sen\left( \frac{2 \pi t}{3} \right) \cdot 12 \cdot \sen\left( \frac{\pi}{3}\right)[/tex3]
[tex3]6 \cdot \cos \left( \frac{2 \pi t}{3}\right) - 6 \cdot \sqrt3 \cdot \sen\left( \frac{2 \pi t}{3} \right)[/tex3]
A função é, então:
[tex3]\boxed{v(t) =25 \cdot \cos\left( \frac{\pi t}{4} \right) +6 \cdot \cos \left( \frac{2 \pi t}{3}\right) - 6 \cdot \sqrt3 \cdot \sen\left( \frac{2 \pi t}{3} \right)}[/tex3]
Vamos analisar cada termo:
- [tex3]\cos \left (\frac{\pi t }{4} \right)[/tex3]
, se [tex3]t = 8[/tex3]
, então [tex3]\cos \left (\frac{\pi \cdot 8 }{4} \right) = 1[/tex3]
Logo, para [tex3]\forall \, t = 8 \cdot k \; | \; k \in \mathbb Z \Rightarrow \cos \left (\frac{\pi \cdot t }{4} \right) =1[/tex3]
- [tex3]\cos \left (\frac{2\pi t}{3} \right)[/tex3]
, se [tex3]t = 3[/tex3]
, então [tex3]\cos \left (\frac{2\pi \cdot 3}{3} \right) = 1[/tex3]
Logo, para [tex3]\forall \, t = 3 \cdot k \; | \; k \in \mathbb Z \Rightarrow \cos \left (\frac{2\pi \cdot 3}{3} \right)=1[/tex3]
- [tex3]\sen\left (\frac{2\pi t}{3} \right) [/tex3]
, se [tex3]t = 3[/tex3]
, então [tex3]\sen\left (\frac{2\pi \cdot 3}{3} \right) =0 [/tex3]
Logo, para [tex3]\forall \, t = 3 \cdot k \; | \; k \in \mathbb Z \Rightarrow \sen\left (\frac{2\pi \cdot 3}{3} \right)=0[/tex3]
Dessa análise, percebemos que precisamos de um número que sirva para todas situações, podemos fazer o [tex3]m.m.c[/tex3]
entre [tex3]8[/tex3]
e [tex3]3[/tex3]
. Com isso, descobrimos que [tex3]t=24[/tex3]
serve em todas situações. Desse fato, podemos afirmar que, para [tex3]t = 24[/tex3]
:
[tex3]v(24) = 25 + 6 - 0 \Rightarrow v(24) = 31 \; [cm/s][/tex3]
Portanto, [tex3]24 \; [h][/tex3]
é o período da função e assim a afirmativa é
correta.
Para o segundo item, basta verificamos se a velocidade está dentro do intervalo possível de valores para [tex3]v(t)[/tex3]
:
[tex3]v(t) =25 \cdot \cos \left (\frac{\pi t }{4} \right)+ 6 \cdot \cos \left (\frac{2\pi t}{3} \right)- 6 \cdot \sqrt 3 \sen\left (\frac{2\pi t}{3} \right) [/tex3]
O maior valor ao norte será quando:
[tex3]v(t)_{máx} =25 \cdot 1+ 6 \cdot 1- 6 \cdot \sqrt 3\cdot (-1)[/tex3]
[tex3]v(t) \approx 41, 4 \; [cm/s][/tex3]
Assim, sabemos que o vento possui um maior valor ao norte (ou sul) de [tex3]41, 4 \; [cm/s][/tex3]
Disso, dizemos que a afirmativa é
correta.
Para o terceiro item, ao meio dia, no dia [tex3]9[/tex3]
, temos [tex3]t=60 \; [h][/tex3]
, pois:
- Dia [tex3]7 - \text{0 a 24 [h]}[/tex3]
- Dia [tex3]8 - \text{24 a 48 [h]}[/tex3]
- Dia [tex3]9 - \text{48 a 72 [h]}[/tex3]
Se consideramos apenas metade do dia [tex3]9[/tex3]
, será de [tex3]\text{48 [h]}[/tex3]
até [tex3]\text {12 [h]}[/tex3]
, ou seja, meio-dia. Assim, é suficiente fazer [tex3]v(60)[/tex3]
:
[tex3]v(60) =25 \cdot \cos \left (\frac{\pi 60 }{4} \right)+ 6 \cdot \cos \left (\frac{2\pi 60}{3} \right)- 6 \cdot \sqrt 3 \sen\left (\frac{2\pi 60}{3} \right) [/tex3]
[tex3]v(60) =25 \cdot \cos \left (15 \pi \right)+ 6 \cdot \cos \left (40 \pi \right)- 6 \cdot \sqrt 3 \sen\left (40 \pi\right) [/tex3]
[tex3]v(60) =25 \cdot \cos \left ( \pi + 2 \cdot 7 \pi\right)+ 6 \cdot \cos \left ( 0 + 2 \cdot 20 \pi \right)- 6 \cdot \sqrt 3 \sen\left (0 + 2 \cdot 20 \pi\right) [/tex3]
[tex3]v(60) =25 \cdot (-1)+ 6 \cdot 1 - 6 \cdot \sqrt 3 \cdot 0[/tex3]
[tex3]v(60) = -19 \; [cm/s][/tex3]
Isso nos diz que o vento soprava ao sul e com velocidade de [tex3]19 \; [cm/s][/tex3]
. Dito isso, a afirmação é
errada.
)
