Pré-Vestibular

FUVEST 2019 segunda fase

M06

A multiplicação de matrizes permite codificar mensagens. Para tanto, cria-se uma numeração das letras do alfabeto, como na
tabela abaixo. (O símbolo * corresponde a um espaço).
[tex3]
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z&*\\\hline1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&27\\\hline\end{array}
[/tex3]

Como exemplo, suponha que a mensagem a ser transferida seja FUVEST, e que as matrizes codificadora e decodificadora
sejam [tex3]A=\left ( \begin{array}{cc} 3&2\\1&1\end{array}\right )[/tex3] e [tex3]B=\left ( \begin{array}{cc} 1&-2\\-1&3\end{array}\right )[/tex3] , respetivamente. A matriz em que se escreve a mensagem é [tex3]M=\left ( \begin{array}{ccc} F&U&V\\E&S&T\end{array}\right )[/tex3] que,
numericamente, corresponde a [tex3]M=\left ( \begin{array}{ccc} 6&21&22\\5&19&20\end{array}\right )[/tex3] . Para fazer a codificação da mensagem, é feito o produto de matrizes
[tex3]N=A\cdot M=\left ( \begin{array}{cc} 3&2\\1&1\end{array}\right )\left ( \begin{array}{ccc} 6&21&22\\5&19&20\end{array}\right )=\left ( \begin{array}{ccc} 28&101&106\\11&40&42\end{array}\right )[/tex3]
O destinatário, para decifrar a mensagem, deve fazer o produto da matriz decodificadora com a matriz codificada recebida:
[tex3]M=B\cdot N=\left ( \begin{array}{cc} 1&1\\1&2\end{array}\right ) \left ( \begin{array}{ccc} 5&19&3\\14&12&1\end{array}\right ) =\left ( \begin{array}{ccc} 6&21&22\\5&19&20\end{array}\right )[/tex3]

a) Se a matriz codificadora é [tex3]A=\left ( \begin{array}{cc} 1&1\\1&2\end{array}\right )[/tex3] e a mensagem a ser transmitida é ESCOLA, qual é a mensagem codificada que o destinatário recebe?

[tex3]N=A\cdot M=\left ( \begin{array}{cc} 1&1\\1&2\end{array}\right )\left ( \begin{array}{ccc} 5&19&3\\15&12&1\end{array}\right )=\left ( \begin{array}{ccc} 20&31&4\\35&43&5\end{array}\right )[/tex3]

b) Se a matriz codificadora é [tex3]A=\left ( \begin{array}{cc} 1&1\\1&2\end{array}\right )[/tex3], e o destinatário recebe a matriz codificada ,
[tex3]N=\left ( \begin{array}{cccc} 38&9&8&48\\47&13&9&75\end{array}\right )[/tex3], qual foi a
mensagem enviada?

[tex3]A\cdot M=N\Leftrightarrow \left ( \begin{array}{cc} 1&1\\1&2\end{array}\right )\left ( \begin{array}{cccc} x_1&x_2&x_3&x_4\\y_1&y_2&y_3&y_4\end{array}\right )=\left ( \begin{array}{cccc} 33&9&8&48\\47&13&9&75\end{array}\right )\\
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x_1+y_1=33\\x_1+2y_1=47\\x_2+y_2=9\\x_2+2y_2=13\\x_3+y_3=8\\x_3+2y_3=9\\x_4+y_4=48\\x4+2y_4=75\end{array}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x_1=19\\y_1=14\\x_2=5\\y_2=4\\x_3=7\\y_3=1\\x_4=21\\y_4=27\end{array}\right.\Leftrightarrow M=\left ( \begin{array}{cccc} 19&5&7&21\\14&4&1&27\end{array}\right )=\left ( \begin{array}{cccc} S&E&G&U\\N&D&A&*\end{array}\right )=SEGUNDA*[/tex3]

c) Nem toda matriz [tex3]A[/tex3] é uma matriz eficaz para enviar mensagens. Por exemplo, se [tex3]A=\left ( \begin{array}{cc} 2&-7\\4&-14\end{array}\right )[/tex3], encontre 4 sequências de 4 letras de forma que as respectivas matrizes codificadas sejam sempre iguais a [tex3]\left ( \begin{array}{cc} 0&0\\0&0\end{array}\right )[/tex3]

[tex3]\text{Seja }M=\left ( \begin{array}{cc} x_1&y_1\\x_2&y_2\end{array}\right )\\
\text{Nota-se que }det(A)=2\times (-14)-(-7)\times4=0\\
\text{e então o sistema (1) }\quad A\cdot M=\left ( \begin{array}{cc} 2&-7\\4&-14\end{array}\right )\left ( \begin{array}{cc} x_1&y_1\\x_2&y_2\end{array}\right )=\left ( \begin{array}{cc} 0&0\\0&0\end{array}\right )\text{ tem uma infinidade de soluções em }\mathbb{N}^*\qquad\scriptsize{(\text{Os vetores }\overrightarrow{\binom{2}{-7}}\text{ e }\overrightarrow{\binom{4}{-14}}\text{ são colineares)}}[/tex3]

[tex3]\text{Para }x_i,y_j\in \{1,2,3,...27\},\;1\leq i,j\leq 2\text{ temos, entre outras soluções:}\\
\left ( \begin{array}{cc} 7&7\\2&2\end{array}\right )=GBGB,\left ( \begin{array}{cc} 7&14\\2&4\end{array}\right )=GBND,\left ( \begin{array}{cc} 14&7\\4&2\end{array}\right )=NDGB,\left ( \begin{array}{cc} 14&14\\4&4\end{array}\right )=NDND,[/tex3]

[tex3]\text{O conjunto das matrizes M soluções de (1) é o conjunto das matrizes da forma }\left ( \begin{array}{cc} 7\lambda&7\mu\\2\lambda&2\mu\end{array}\right )\text{, com }1\leq \lambda,\mu\leq3\qquad\scriptsize{(1\leq x_i,y_j\leq 27)}\\
\text{e temos }3^2=9\text{ dessas matrizes}[/tex3]

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