- FUVEST 2019 M05 figura.JPG (17.93 KiB) Exibido 1060 vezes
- duas retas perpendiculares [tex3]r[/tex3] e [tex3]s[/tex3] e o ponto [tex3]O[/tex3] de intersecção dessas duas retas;
- um ponto [tex3]Q \in s[/tex3] tal que a medida de [tex3]\overline{OQ}[/tex3] é 5
- uma circunferência [tex3]c[/tex3] , centra em [tex3]Q[/tex3] e de raio 1
- um ponto [tex3]P\in c[/tex3] tal que o segmento [tex3]\overline{OP}[/tex3] intersecta c apenas em P.
a) Calcule [tex3]\sin{\theta}[/tex3], no caso em que [tex3]\theta [/tex3] assume o máximo valor
possível na descrição acima.
[tex3]\text{Seja }P'\text{ o outro ponto de intersecção de OP com }c.\\
\begin{align*}\text{Seja }I\text{ o meio de }[PP'],\;QPP'\text{ isósceles }\Rightarrow& (QI)\perp (OP)\\
\Rightarrow &\sin{\theta}=\dfrac{|IQ|}{|OQ|}\end{align*}[/tex3]
- [tex3]\text{Se }P=P'=I\\
(OP)\text{ é uma reta tangente à }c \quad\scriptsize{\big((OP)\text{ tem um só ponto de intersecção com }c\big)}\\
\sin{\theta}=\dfrac{|IQ|}{|OQ|}=\dfrac{|PQ|}{|OQ|}=\dfrac{1}{5}[/tex3] - [tex3]\text{ Se }P\neq P'\\
\sin{\theta}=\dfrac{|IQ|}{|OQ|}=\dfrac{|PQ|\sin{\widehat{IPQ}}}{|OQ|}<\dfrac{1}{5}\quad\scriptsize{\big(\widehat{IPQ}<\dfrac{\pi}{2}}\text{ já que }2\cdot\widehat{IPQ}+\widehat{PQP'}=\pi\text{ e }\widehat{PQP'}\neq0\big)
[/tex3]
\sin{\theta}\text{ é máximo quando }P=P_0\\
\text{e }\theta\text{ é máximo quando }P=P_0\qquad\scriptsize{(\text{a função seno é crescente sobre }[0;\dfrac{\pi}{2}])}\\
\text{ e }\sin{\theta}=\dfrac{1}{5}\text{ quando }P=P_0[/tex3]
b) Calcule [tex3]\sin{\theta}[/tex3], no caso em que [tex3]\beta=60\degree[/tex3]
[tex3]\text{Seja }P_s\text{ a projeção ortogonal de }P\text{ sobre }s.\\
\text{Temos } |PP_s|=|QP|\sin{\beta}=\sin{\beta}=\sin{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{, e }|QP_s|=|QP|\cos{\beta}=\dfrac{1}{2}\qquad\scriptsize{(QPP_s\text{ é um triangulo retangulo em }P_s)}\\
|OP_s|=|OQ|-|QP_s|=5-\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{2}\\
|OP|=\sqrt{|OP_s|^2+|PP_s|^2}=\sqrt{\dfrac{81}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{\dfrac{84}{4}}=\sqrt{21}\qquad\scriptsize{(\text{Pitágoras em }OPP_s\text{,triangulo retangulo em }P_s)}\\
\sin{\theta}=\dfrac{|PP_s|}{|OP|}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{3}{21}}=\dfrac{1}{2\sqrt{7}}\approx0,1890\qquad\scriptsize{(OPP_s\text{ é um triangulo retangulo em }P_s)}[/tex3]
Ainda na figura encontram-se:
- a reta [tex3]t[/tex3] contendo [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3]
- a semi-reta [tex3]u[/tex3] partindo de [tex3]P[/tex3] e contendo [tex3]O[/tex3]
- a semirreta [tex3]w[/tex3] partindo de [tex3]P[/tex3] para fora de [tex3]c[/tex3] de modo que [tex3]u[/tex3] e [tex3]w[/tex3] estão em semiplanos distintos relativos a [tex3]t[/tex3]
c) Determine a medida de [tex3]\overline{OR}[/tex3] , no caso em que [tex3]\alpha=45\degree[/tex3]
[tex3]\sin{\theta}=\dfrac{|QI|}{|OQ|}=\dfrac{|PQ|\sin{\alpha}}{|OQ|}=\dfrac{1}{5\sqrt{2}}\qquad\scriptsize{(OQI\text{ e }PQI\text{ retângulos em }I)}\\
\cos{\theta}=\sqrt{1-\sin^2{\theta}}=\dfrac{7}{5\sqrt{2}} \qquad\scriptsize{({0\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{2}})}\\
|OI|=|OQ|\cos{\theta}=\dfrac{7}{\sqrt{2}}\qquad\scriptsize{(OQI\text{ retângulo em }I)}\\
|PI|=|PQ|\cos{\alpha}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\qquad\scriptsize{(PQI\text{ retângulo em }I)}\\
|OP|=|OI|-|PI|=\dfrac{6}{\sqrt{2}}\\
\text{Em POR temos }\widehat{PRO}+\widehat{OPR}+\widehat{ROP}=\pi\text{ ou seja }\gamma+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}-\theta=\pi\text{ ou seja }\gamma=\theta\\
\begin{align*}\text{e }|OR|=&\dfrac{|OP|}{\sin{\gamma}}\qquad\scriptsize{(POR\text{ retângulo em }P})\\
=&\dfrac{|OP|}{\sin{\theta}}\\
=&\dfrac{6}{\sqrt{2}}\cdot5\sqrt{2}=30\end{align*}[/tex3]
