Pré-Vestibular ⇒ UERJ probabilidade

[daniellyrosa]

Em uma escola, 20% dos alunos de uma turma marcaram a opção correta de uma questão de
múltipla escolha que possui quatro alternativas de resposta. Os demais marcaram uma das quatro
opções ao acaso.Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma, a
probabilidade de que exatamente um tenha marcado a opção correta equivale a:
a) 0,48
b) 0,40
c) 0,36
d) 0,25

Vi uma resolução em que o cara fez 20% dos que acertaram por saberem e relacionou com 80% que fizeram a questão chutando, e tipo, disso ele considerou que algum desses que chutaram acertaram.E nisso, de 4 questões pra acertar uma seria a resposta certa ,logo teríamos a probabilidade de 1/4... Ai que eu quero chegar, na minha opinião esses 1/4 seria a probabilidade de acertar a questão e NÃO a probabilidade de encontrar alguém que acertou a questão, entende?


A resolução que tem minha dúvida está no link e na imagem, se alguém puder me ajudar por favor..

http://educacao.globo.com/provas/uerj-2 ... es/42.html

[MateusQqMD]

Olá, danielly. Você fez uma pequena confusão. No primeiro caso ele relacionou alguém que está entre os [tex3]20\%[/tex3]

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[tex3]20\%[/tex3]

, e, assim, que marcou a opção correta, com alguém que está entre os [tex3]80\%[/tex3]

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[tex3]80\%[/tex3]

e marcou a questão de forma errada, sendo que a chance de isso ocorrer é 0,8 [tex3]\cdot[/tex3]

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[tex3]\cdot[/tex3]

3/4.

Já no segundo caso, os dois alunos selecionados pertencem ao grupo dos [tex3]80\%[/tex3]

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[tex3]80\%[/tex3]

que chutaram a questão, mas um deles deve acertá-la (1/4) enquanto o outro deve errá-la (3/4). Entende?

[rcompany]

Em uma escola, 20% dos alunos de uma turma marcaram a opção correta de uma questão de
múltipla escolha que possui quatro alternativas de resposta. Os demais marcaram uma das quatro
opções ao acaso.Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma, a
probabilidade de que exatamente um tenha marcado a opção correta equivale a:
a) 0,48
b) 0,40
c) 0,36
d) 0,25

Vi uma resolução em que o cara fez 20% dos que acertaram por saberem e relacionou com 80% que fizeram a questão chutando, e tipo, disso ele considerou que algum desses que chutaram acertaram.E nisso, de 4 questões pra acertar uma seria a resposta certa ,logo teríamos a probabilidade de 1/4... Ai que eu quero chegar, na minha opinião esses 1/4 seria a probabilidade de acertar a questão e NÃO a probabilidade de encontrar alguém que acertou a questão, entende?


A resolução que tem minha dúvida está no link e na imagem, se alguém puder me ajudar por favor..

http://educacao.globo.com/provas/uerj-2 ... es/42.html

O problema desse exercício reside num enunciado muito deficiente: não se sabe com exatidão se há reposição, i.e. se os dois alunos sorteados tem que ser diferentes. Não teria muito sentido fazer reposição, i.e. poder ter duas vezes o mesmo aluno no resultado de um sorteio. Porem as respostas possíveis sugerem que é um sorteio com reposição.

Dito isso, é bom, quando se há uma dificuldade de entendimento de um problema, voltar para uma certa formalidade na descrição dos eventos e usar as fórmulas básicas do cálculo de probabilidade.

Nesse caso:

[tex3]P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[12pt]
e\\[12pt]
P(A)=P(A\big/B_1)\cdot P(B_1)+P(A\big /B_2)\cdot P(B_2)+...+P(A\big/B_n)\cdot P(B_n)\\
\text{com }\{B_1,B_2,...,B_n\}\text{ sendo uma partição de }\Omega\text{, conjunto de todos os eventos possíveis.}
[/tex3]

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[tex3]P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[12pt]
e\\[12pt]
P(A)=P(A\big/B_1)\cdot P(B_1)+P(A\big /B_2)\cdot P(B_2)+...+P(A\big/B_n)\cdot P(B_n)\\
\text{com }\{B_1,B_2,...,B_n\}\text{ sendo uma partição de }\Omega\text{, conjunto de todos os eventos possíveis.}
[/tex3]

I) Com reposição

[tex3]
\text{Sejam }A_i, 1\leq i\leq 2\text{ os alunos sorteados, }R_i\text{ a resposta dada pelo aluno }i,\;1\leq R_i\leq 4 \text{ e }R_i=1\text{ sendo a resposta correta, e }\\S\text{ o conjunto dos alunos que conhecem a resposta certa, o complemento }\overline{S}\text{ sendo obviamente o conjunto dos alunos que }\\\text{dão a resposta ao acaso ("chutam")}\\
\text{Num sorteio de dois alunos queremos calcular }P(E)=P\Big([(R_1=1)\cap(R_2>1)]\cup[(R_1>1)\cap(R_2=1)][/tex3]

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[tex3]
\text{Sejam }A_i, 1\leq i\leq 2\text{ os alunos sorteados, }R_i\text{ a resposta dada pelo aluno }i,\;1\leq R_i\leq 4 \text{ e }R_i=1\text{ sendo a resposta correta, e }\\S\text{ o conjunto dos alunos que conhecem a resposta certa, o complemento }\overline{S}\text{ sendo obviamente o conjunto dos alunos que }\\\text{dão a resposta ao acaso ("chutam")}\\
\text{Num sorteio de dois alunos queremos calcular }P(E)=P\Big([(R_1=1)\cap(R_2>1)]\cup[(R_1>1)\cap(R_2=1)][/tex3]

[tex3]

\begin{array}{rll}P(E)=&\displaystyle{\sum_{\substack{i\neq j\\1\leq i,j\leq 2}}}&P\big((R_i=1)\cap(R_j>1)\big)-\underbrace{P\Big([(R_1=1)\cap(R_2>1)]\cap[(R_1>1)\cap(R_2=1)]\Big)}_{\normalsize{=0\text{ pois }((R_1=1)\cap(R_2>1)\text{ e }(R_1>1)\cap(R_2=1)\text{ são eventos incompatíveis})}}\\
=&\displaystyle{\sum_{\substack{i\neq j\\1\leq i,j\leq 2}}}\Bigg[&P\Big((R_i=1)\cap(R_j>1)\big)\Bigg\vert\underbrace{(A_i\in S)\cap (A_j \in S)}_{\text{dado que o aluno i sabe} \\ \text{e o aluno j sabe}}\Big)\cdot \underbrace{P\big((A_i\in S)\cap (A_j \in S)\big)}_{\text{probabilidade dos dois alunos}\\\text{saberem a resposta}}\\
&&+P\Big((R_i=1)\cap(R_j>1)\big)\Bigg\vert\underbrace{(A_i\in S)\cap (A_j \in S)}_{\text{dado que }A_i\text{ sabe e }A_j\text{ chuta}}\Big)\cdot \underbrace{P\big((A_i\in S)\cap (A_j \in \overline{S})\big)}_{\text{probabilidade de }A_i\text{ saber e }A_j\text{ chutar}}\\
&&+P\Big((R_i=1)\cap(R_j>1)\big)\Bigg\vert\underbrace{(A_i\in S)\cap (A_j \in S)}_{\text{dado que }A_i\text{ e }A_j\text{ chutam}} \Big)\cdot \underbrace{P\big((A_i\in \overline{S})\cap (A_j \in \overline{S})\big)}_{\text{probabilidade de }A_i\text{ e }A_j\text{chutarem}}\Bigg]\\
&&\scriptsize{(A_i\in S\cap A_j\in S, A_i\in S\cap A_j\in\overline{S}\text{ e }A_i\in\overline{S}\cap A_j\in\overline{S}\text{ formam uma partição do conjunto de sorteios de dois alunos})}\\
=&\displaystyle{\sum_{\substack{i\neq j\\1\leq i,j\leq 2}}}\Bigg(&0+\Big(\dfrac{1}{5}\times 1 \times \dfrac{4}{5}\times \dfrac{3}{4}\Big )+\Big(\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{4}\times\dfrac{4}{5}\times\dfrac{3}{4}\Big)\Bigg)\\
=&2\times\Big(&\hspace{-18pt}\dfrac{12}{100}+\dfrac{12}{100}\Big)\\
=&\dfrac{48}{100}
\end{array}
[/tex3]

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[tex3]

\begin{array}{rll}P(E)=&\displaystyle{\sum_{\substack{i\neq j\\1\leq i,j\leq 2}}}&P\big((R_i=1)\cap(R_j>1)\big)-\underbrace{P\Big([(R_1=1)\cap(R_2>1)]\cap[(R_1>1)\cap(R_2=1)]\Big)}_{\normalsize{=0\text{ pois }((R_1=1)\cap(R_2>1)\text{ e }(R_1>1)\cap(R_2=1)\text{ são eventos incompatíveis})}}\\
=&\displaystyle{\sum_{\substack{i\neq j\\1\leq i,j\leq 2}}}\Bigg[&P\Big((R_i=1)\cap(R_j>1)\big)\Bigg\vert\underbrace{(A_i\in S)\cap (A_j \in S)}_{\text{dado que o aluno i sabe} \\ \text{e o aluno j sabe}}\Big)\cdot \underbrace{P\big((A_i\in S)\cap (A_j \in S)\big)}_{\text{probabilidade dos dois alunos}\\\text{saberem a resposta}}\\
&&+P\Big((R_i=1)\cap(R_j>1)\big)\Bigg\vert\underbrace{(A_i\in S)\cap (A_j \in S)}_{\text{dado que }A_i\text{ sabe e }A_j\text{ chuta}}\Big)\cdot \underbrace{P\big((A_i\in S)\cap (A_j \in \overline{S})\big)}_{\text{probabilidade de }A_i\text{ saber e }A_j\text{ chutar}}\\
&&+P\Big((R_i=1)\cap(R_j>1)\big)\Bigg\vert\underbrace{(A_i\in S)\cap (A_j \in S)}_{\text{dado que }A_i\text{ e }A_j\text{ chutam}} \Big)\cdot \underbrace{P\big((A_i\in \overline{S})\cap (A_j \in \overline{S})\big)}_{\text{probabilidade de }A_i\text{ e }A_j\text{chutarem}}\Bigg]\\
&&\scriptsize{(A_i\in S\cap A_j\in S, A_i\in S\cap A_j\in\overline{S}\text{ e }A_i\in\overline{S}\cap A_j\in\overline{S}\text{ formam uma partição do conjunto de sorteios de dois alunos})}\\
=&\displaystyle{\sum_{\substack{i\neq j\\1\leq i,j\leq 2}}}\Bigg(&0+\Big(\dfrac{1}{5}\times 1 \times \dfrac{4}{5}\times \dfrac{3}{4}\Big )+\Big(\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{4}\times\dfrac{4}{5}\times\dfrac{3}{4}\Big)\Bigg)\\
=&2\times\Big(&\hspace{-18pt}\dfrac{12}{100}+\dfrac{12}{100}\Big)\\
=&\dfrac{48}{100}
\end{array}
[/tex3]

II) Sem reposição

[tex3]
\text{Seja }n=card(S)\text{ o número de alunos que conhecem a resposta.}\\\text{O número de alunos que dão a resposta ao acaso é }card(\overline{S})=4n\\[14pt]
\text{Temos:}\\
\begin{align*}P(E)=&\sum_{\substack{i\neq j\\1\leq i,j\leq 2}}\Big[P\big((R_i=1\cap R_j>1)\big /(A_i\in S\cap A_j\in \overline{S})\big)\cdot P\big(A_i\in S\cap A_j\in \overline{S}\big)\\&\qquad\qquad+P\big((R_i=1\cap R_j>1)\big /(A_i\in \overline{S}\cap A_j\in \overline{S})\big)\cdot P\big(A_i\in \overline{S}\cap A_j\in \overline{S}\big)\Big]\\
=&\sum_{\substack{i\neq j\\1\leq i,j\leq 2}}\Big[\big(1\times \dfrac{3}{4}\big)\cdot \big(\dfrac{n}{5n}\times\dfrac{4n}{5n-1}\big)+\big(\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{4}\big)\cdot \big(\dfrac{4n}{5n}\times \dfrac{4n-1}{5n-1}\big)\Big]\\
=&\sum_{\substack{i\neq j\\1\leq i,j\leq 2}}\Big[\dfrac{12n^2}{20n(5n-1)}+\dfrac{12n(4n-1)}{80n(5n-1)}\Big]=\sum_{\substack{i\neq j\\1\leq i,j\leq 2}}\Big[\dfrac{48n^2+12n(4n-1)}{80n(5n-1)}\Big]=\dfrac{48n^2+12n(4n-1)}{40n(5n-1)}\\
=&\dfrac{96n^2-12n}{200n^2-40n}=\dfrac{24n^2-3n}{50n^2-10n}\end{align*}\\[2cm]
\text{e vemos que }P(E)\text{ toma valores diferentes em função de n}
[/tex3]

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[tex3]
\text{Seja }n=card(S)\text{ o número de alunos que conhecem a resposta.}\\\text{O número de alunos que dão a resposta ao acaso é }card(\overline{S})=4n\\[14pt]
\text{Temos:}\\
\begin{align*}P(E)=&\sum_{\substack{i\neq j\\1\leq i,j\leq 2}}\Big[P\big((R_i=1\cap R_j>1)\big /(A_i\in S\cap A_j\in \overline{S})\big)\cdot P\big(A_i\in S\cap A_j\in \overline{S}\big)\\&\qquad\qquad+P\big((R_i=1\cap R_j>1)\big /(A_i\in \overline{S}\cap A_j\in \overline{S})\big)\cdot P\big(A_i\in \overline{S}\cap A_j\in \overline{S}\big)\Big]\\
=&\sum_{\substack{i\neq j\\1\leq i,j\leq 2}}\Big[\big(1\times \dfrac{3}{4}\big)\cdot \big(\dfrac{n}{5n}\times\dfrac{4n}{5n-1}\big)+\big(\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{4}\big)\cdot \big(\dfrac{4n}{5n}\times \dfrac{4n-1}{5n-1}\big)\Big]\\
=&\sum_{\substack{i\neq j\\1\leq i,j\leq 2}}\Big[\dfrac{12n^2}{20n(5n-1)}+\dfrac{12n(4n-1)}{80n(5n-1)}\Big]=\sum_{\substack{i\neq j\\1\leq i,j\leq 2}}\Big[\dfrac{48n^2+12n(4n-1)}{80n(5n-1)}\Big]=\dfrac{48n^2+12n(4n-1)}{40n(5n-1)}\\
=&\dfrac{96n^2-12n}{200n^2-40n}=\dfrac{24n^2-3n}{50n^2-10n}\end{align*}\\[2cm]
\text{e vemos que }P(E)\text{ toma valores diferentes em função de n}
[/tex3]

[MateusQqMD]

Olá, rcompany

Na verdade, o enunciado não abre margem para mais de uma interpretação. Observe com cuidado a seguinte passagem:

... Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma ...

Se a verificação será feita nas respostas de 2 alunos, claramente eles são distintos entre si, ou seja, não pode haver reposição.

A justificativa para se fazer [tex3]2[/tex3][tex3]\( 0,2 \cdot 0,8 \cdot \frac{3}{4} \)[/tex3]

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[tex3]\( 0,2 \cdot 0,8 \cdot \frac{3}{4} \)[/tex3]

e [tex3]2[/tex3][tex3]\( 0,8 \cdot \frac{1}{4} \cdot 0,8 \cdot \frac{3}{4} \)[/tex3]

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[tex3]\( 0,8 \cdot \frac{1}{4} \cdot 0,8 \cdot \frac{3}{4} \)[/tex3]

, isto é, se contar a probabilidade de cada um daqueles eventos ocorrerem duas vezes é que há, em cada um dos casos, duas possibilidades na ordem dos eventos:

1) A probabilidade de ser selecionado um aluno entre os 20%, que marcou a resposta correta, e outro aluno, entre os 80%, que marcou a resposta errada, nessa ordem, é [tex3]0,2 \cdot 0,8 \cdot \frac{3}{4} [/tex3]

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[tex3]0,2 \cdot 0,8 \cdot \frac{3}{4} [/tex3]

2) A probabilidade de ser selecionado um aluno entre os 80%, que marcou a resposta errada, e outro aluno, entre os 20%, que marcou a resposta correta, nessa ordem, é [tex3]0,8 \cdot \frac{3}{4} \cdot 0,2 [/tex3]

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[tex3]0,8 \cdot \frac{3}{4} \cdot 0,2 [/tex3]

3) A probabilidade de ser selecionado um aluno entre os 80%, que marcou a resposta correta, e outro aluno, entre os 80%, que marcou a resposta errada, nessa ordem, é [tex3]0,8 \cdot \frac{1}{4} \cdot 0,8 \cdot \frac{3}{4} [/tex3]

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[tex3]0,8 \cdot \frac{1}{4} \cdot 0,8 \cdot \frac{3}{4} [/tex3]

4) A probabilidade de ser selecionado um aluno entre os 80%, que marcou a resposta errada, e outro aluno, entre os 80%, que marcou a resposta correta, nessa ordem, é [tex3]0,8 \cdot \frac{3}{4} \cdot 0,8 \cdot \frac{1}{4} [/tex3]

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[tex3]0,8 \cdot \frac{3}{4} \cdot 0,8 \cdot \frac{1}{4} [/tex3]

Daí, a resposta é [tex3]0,2 \cdot 0,8 \cdot \frac{3}{4} + 0,8 \cdot \frac{3}{4} \cdot 0,2 + 0,8 \cdot \frac{1}{4} \cdot 0,8 \cdot \frac{3}{4} + 0,8 \cdot \frac{3}{4} \cdot 0,8 \cdot \frac{1}{4} = 0,48[/tex3]

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[tex3]0,2 \cdot 0,8 \cdot \frac{3}{4} + 0,8 \cdot \frac{3}{4} \cdot 0,2 + 0,8 \cdot \frac{1}{4} \cdot 0,8 \cdot \frac{3}{4} + 0,8 \cdot \frac{3}{4} \cdot 0,8 \cdot \frac{1}{4} = 0,48[/tex3]

Eu, sinceramente, não me dei ao trabalho de ler toda a sua solução porque estou com preguiça e um pouco ocupado agora. Mas caso você não tenha compreendido, basta avisar

[rcompany]

Mateus,

bom dia.

Eu acredito justamente que o enunciado deveria deixar mais claro as questões da ordem e da reposição.

Sem reposição: ...dois alunos quaisquer, diferentes,...

Com reposição: ...dois alunos quaisquer, diferentes ou não,...

Com ordem: ... dois alunos quaisquer, nessa ordem,...

Sem ordem: ...... dois alunos quaisquer, sorteados simultaneamente ,...

Num clássico problema de bolas e urnas essa semântica estaria presente.

No caso especifico desse problema a reposição permite que a probabilidade do segundo aluno sorteado de pertencer a um dos dois grupos (os que sabem e os que chutam) seja a mesma que a probabilidade do primeiro aluno de pertencer a esse grupo.

Sem reposição o sorteio do segundo aluno muda: tem um aluno a menos entre os quais escolher, e dependendo do resultado da escolha do primeiro aluno, há ou não redução do número de eventos que satisfazem a condição cuja probabilidade é procurada.

• [tex3]
  \text{Com reposição}\\[14pt]
  \left.\begin{array}{rcl}P(A_1\in S\cap A_2\in S)=&\dfrac{n}{5n}\cdot \dfrac{n}{5n}&=0,2\times 0,2\\
  P(A_1\in S\cap A_2\in\overline{S})=&\dfrac{n}{5n}\cdot \dfrac{4n}{5n}&=0,2\times 0,8\\
  P(A_1\in \overline{S}\cap A_2\in\overline{S})=&\underbrace{\dfrac{4n}{5n}\cdot \dfrac{4n}{5n}}&=0,8\times 0,8\\
  \end{array}\right\}\normalsize{\text{probabilidades independentes de n}}\\\hspace{80pt}\substack{\text{as probabilidades mantêm-se}\\\text{do sorteio do 1o aluno para o 2do}\\\text{já que "recolocamos a bola na urna"}}
  [/tex3]

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  [tex3]
\text{Com reposição}\\[14pt]
\left.\begin{array}{rcl}P(A_1\in S\cap A_2\in S)=&\dfrac{n}{5n}\cdot \dfrac{n}{5n}&=0,2\times 0,2\\
P(A_1\in S\cap A_2\in\overline{S})=&\dfrac{n}{5n}\cdot \dfrac{4n}{5n}&=0,2\times 0,8\\
P(A_1\in \overline{S}\cap A_2\in\overline{S})=&\underbrace{\dfrac{4n}{5n}\cdot \dfrac{4n}{5n}}&=0,8\times 0,8\\
\end{array}\right\}\normalsize{\text{probabilidades independentes de n}}\\\hspace{80pt}\substack{\text{as probabilidades mantêm-se}\\\text{do sorteio do 1o aluno para o 2do}\\\text{já que "recolocamos a bola na urna"}}
[/tex3]

• [tex3]
  \text{Sem reposição}\\[14pt]
  \left.\begin{array}{rc}P(A_1\in S\cap A_2\in S)=&\dfrac{n}{5n}\cdot \dfrac{n-1}{5n-1}\\
  P(A_1\in S\cap A_2\in\overline{S})=&\dfrac{n}{5n}\cdot \dfrac{4n}{5n-1}\\
  P(A_1\in \overline{S}\cap A_2\in\overline{S})=&\underbrace{\dfrac{4n}{5n}\cdot \dfrac{4n-1}{5n-1}}\end{array}\right \}{\substack{\Large{\text{torna as probabilidades função de n e }\\n_0\neq n_1\Rightarrow P(E,n_0)\neq P(E,n_1)}}\\\\[12pt]}
  \\\hspace{94pt}\substack{\text{a probabilidade do evento}\\\text{se realizar no sorteio do 2do}\\\text{muda: temos uma bola a}\\\text{menos em }S\text{ ou }\overline{S}\text{ e na urna}}
  [/tex3]

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  [tex3]
\text{Sem reposição}\\[14pt]
\left.\begin{array}{rc}P(A_1\in S\cap A_2\in S)=&\dfrac{n}{5n}\cdot \dfrac{n-1}{5n-1}\\
P(A_1\in S\cap A_2\in\overline{S})=&\dfrac{n}{5n}\cdot \dfrac{4n}{5n-1}\\
P(A_1\in \overline{S}\cap A_2\in\overline{S})=&\underbrace{\dfrac{4n}{5n}\cdot \dfrac{4n-1}{5n-1}}\end{array}\right \}{\substack{\Large{\text{torna as probabilidades função de n e }\\n_0\neq n_1\Rightarrow P(E,n_0)\neq P(E,n_1)}}\\\\[12pt]}
\\\hspace{94pt}\substack{\text{a probabilidade do evento}\\\text{se realizar no sorteio do 2do}\\\text{muda: temos uma bola a}\\\text{menos em }S\text{ ou }\overline{S}\text{ e na urna}}
[/tex3]

Nada disso aparece no enunciado, pelo menos como foi transcrito aqui:

Em uma escola, 20% dos alunos de uma turma marcaram a opção correta de uma questão de
múltipla escolha que possui quatro alternativas de resposta. Os demais marcaram uma das quatro
opções ao acaso.Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma, a
probabilidade de que exatamente um tenha marcado a opção correta equivale a:
a) 0,48
b) 0,40
c) 0,36
d) 0,25

[MateusQqMD]

Oi, boa noite

Então, agora eu entendi porque você pensou que haveria reposição.. Realmente, o que eu usei ali em cima (e também está na solução mostrada pela Danielly) é que a gente chega naquela resposta considerando que o espaço amostral não muda, daí o lance de pensar em reposição. Tipo, o que eu fiz está bem errado, porque o espaço amostral muda mesmo quando ocorre a primeira retirada. Mas continuo com o pensamento de que não há reposição das respostas (o que acaba gerando, para mim, um gabarito diferente dos presentes nas alternativas). Apesar da resposta ficar próxima de 0,48, não seria isso porque ocorre a mudança do espaço amostral, concordo com você nessa parte.

[csmarcelo]

Problemas de probabilidade e combinatória acabam "apelando" em certos pontos para o bom senso. Quando se fala de bolas e urnas, não existe bom senso, pois não existe uma regra que determine como manipular sorteios de bolas em urnas. Agora, quando falamos de escolher dois alunos para verificar suas respostas, não faz sentido algum escolhermos o mesmo aluno duas vezes. Talvez melhor, não existe argumento, dado o contexto, que justifique essa possibilidade.