Pré-Vestibular ⇒ FUVEST 2019 Segunda fase M04

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FUVEST 2019 segunda fase

M04

Uma urna tem A bolas azuis e B bolas brancas. Ao serem retiradas duas delas de uma só vez, aleatoriamente, a probabilidade de saírem duas bolas azuis é denotada por [tex3]p_{\small{A}}[/tex3]

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[tex3]p_{\small{A}}[/tex3]

, a probabilidade de saírem duas bolas brancas é denotada por [tex3]p_{\small{B}}[/tex3]

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[tex3]p_{\small{B}}[/tex3]

e a probabilidade de saírem duas bolas de cores diferentes é denotada por [tex3]p_{\small{M}}[/tex3]

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[tex3]p_{\small{M}}[/tex3]

.

a) Se A=2 e B=5, determine [tex3]p_{\small{B}}[/tex3]

[tex3]p_{\small{B}}=\dfrac{C_5^2}{C_7^2}=\dfrac{10}{21}[/tex3]

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[tex3]p_{\small{B}}=\dfrac{C_5^2}{C_7^2}=\dfrac{10}{21}[/tex3]

b) Se o total de bolas na urna é 21 e [tex3]p_{\small{M}}[/tex3] é o triplo de [tex3]p_{\small{A}}[/tex3], quantas bolas azuis e quantas bolas brancas há na urna?

[tex3]\begin{array}{rl} \left.\begin{array}{l} p_{\small{A}}+p_{\small{B}}+p_{\small{M}}=1\\
p_{\small{M}}=3\times p_{\small{A}}
\end{array}\right \}\Rightarrow &4\times p_{\small{A}}+p_{\small{B}}=1\\\Rightarrow& 4\times \dfrac{C_A^2}{C_{21}^{2}}+\dfrac{C_{21-A}^2}{C_{21}^{2}}=1\\
\Rightarrow & 4A(A-1)+(21-A)(20-A)=420\\
\Rightarrow &5A^2-45A=0\\
\Rightarrow &5A(A-9)=0\\ \Rightarrow& \left \{ \begin{array}{c}A=0\text{ e }B=21-0=21\\
ou\\
A=9\text{ e }B=21-9=12\end{array}\right. \end{array}[/tex3]

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[tex3]\begin{array}{rl} \left.\begin{array}{l} p_{\small{A}}+p_{\small{B}}+p_{\small{M}}=1\\
p_{\small{M}}=3\times p_{\small{A}}
\end{array}\right \}\Rightarrow &4\times p_{\small{A}}+p_{\small{B}}=1\\\Rightarrow& 4\times \dfrac{C_A^2}{C_{21}^{2}}+\dfrac{C_{21-A}^2}{C_{21}^{2}}=1\\
\Rightarrow & 4A(A-1)+(21-A)(20-A)=420\\
\Rightarrow &5A^2-45A=0\\
\Rightarrow &5A(A-9)=0\\ \Rightarrow& \left \{ \begin{array}{c}A=0\text{ e }B=21-0=21\\
ou\\
A=9\text{ e }B=21-9=12\end{array}\right. \end{array}[/tex3]

3) Se [tex3]A=3[/tex3], para quais valores de [tex3]B[/tex3] o valor de [tex3]p_{\small{M}}[/tex3] é estritamente maior do que [tex3]\dfrac{1}{2}[/tex3]?

[tex3]\begin{array}{rl}p_{\small{M}}>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow& 1-p_{\small{A}}-p_{\small{B}}>\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow & p_{\small{A}}+p_{\small{B}}<\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow &\dfrac{C_3^2}{C_{B+3}^2}+\dfrac{C_{B}^2}{C_{B+3}^2}<\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow & 12+2B(B-1)<(B+3)(B+2)\\
\Leftrightarrow & B^2-7B+6<0\qquad(1)
\end{array}\\[/tex3]

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[tex3]\begin{array}{rl}p_{\small{M}}>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow& 1-p_{\small{A}}-p_{\small{B}}>\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow & p_{\small{A}}+p_{\small{B}}<\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow &\dfrac{C_3^2}{C_{B+3}^2}+\dfrac{C_{B}^2}{C_{B+3}^2}<\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow & 12+2B(B-1)<(B+3)(B+2)\\
\Leftrightarrow & B^2-7B+6<0\qquad(1)
\end{array}\\[/tex3]

[tex3]
\Delta=49-24=25\\
\text{As duas únicas raizes de }B^2-7B+6\text{ são }\left\{ \begin{array}{l}B_1=\dfrac{7-5}{2}=6\\
B_2=\dfrac{7+5}{2}=1\\\end{array}\right.
\\
\text{Notemos que }B_1<2<B_2\text{ e } 2^2-7\times 2+6=-4<0\\
\\
\\\text{e então }\\ \begin{align*}(1)\Leftrightarrow&1<B<6\\ \Leftrightarrow &B\in\{2;3;4;5\}\end{align*}[/tex3]

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[tex3]
\Delta=49-24=25\\
\text{As duas únicas raizes de }B^2-7B+6\text{ são }\left\{ \begin{array}{l}B_1=\dfrac{7-5}{2}=6\\
B_2=\dfrac{7+5}{2}=1\\\end{array}\right.
\\
\text{Notemos que }B_1<2<B_2\text{ e } 2^2-7\times 2+6=-4<0\\
\\
\\\text{e então }\\ \begin{align*}(1)\Leftrightarrow&1<B<6\\ \Leftrightarrow &B\in\{2;3;4;5\}\end{align*}[/tex3]