- FUVEST 2019 M02 figura.JPG (14.66 KiB) Exibido 1895 vezes
a) Determine a equação da reta que passa por [tex3]E[/tex3] e por [tex3]A[/tex3]
[tex3]\text{A equação é }\dfrac{y-y_A}{x-x_A}=\dfrac{y_E-y_A}{x_E-x_A}\qquad (1)\\
\\\text{e temos }x_A=|OA|=|OC|=2,\;y_A=0,\;x_E=0,\;x_E=|OC|+|CE|=4\\
(1)\Leftrightarrow\dfrac{y-0}{x-2}=\dfrac{4-0}{0-2}\Leftrightarrow y=-2x+4[/tex3]
b) Determine a equação da reta que passa por [tex3]D[/tex3] e é perpendicular à reta [tex3](AE)[/tex3]
[tex3]\text{Seja P um ponto de coordenadas }\binom{x}{y}\\
\text{Seja }\mathcal{R}_1\text{ a reta que passa por }D\text{ e perpendicular à }(AE)
[/tex3]
Primeira opção: usar o produto scalar de um vetor colinear com [tex3]\mathcal{R}_1[/tex3] com [tex3]\overrightarrow{AE}[/tex3]
[tex3]
\text{Temos }\left \{\begin{array}{l}x_D=||\vec{CD}||\cdot \cos{(\widehat{BCD})}=2\cdot \cos{(\widehat{BCE}-\widehat{DCE})}=2\cos{(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3})}=2\cos{(\dfrac{\pi}{6})}=\sqrt{3}\\
y_D=||OC||+\dfrac{||CE||}{2}=3\end{array}\right.\quad\scriptsize\text{(CDE é equilátero}\Rightarrow\widehat{DCE}=\dfrac{\pi}{3})[/tex3]
[tex3]\text{e }\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{\binom{-2}{4}}\text{ e }\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{\binom{\sqrt{3}-x}{3-y}}[/tex3]
[tex3]\begin{align*}P\in\mathcal{R}_1\Leftrightarrow&\overrightarrow{AE} \perp\overrightarrow{PD}\\\Leftrightarrow &\overrightarrow{AE} \cdot\overrightarrow{PD}=0&\scriptsize\text{(o produto scalar de dois vetores ortogonais é nulo)}\\
\Leftrightarrow&-2(\sqrt{3}-x)+4(3-y)=0\\
\Leftrightarrow&4y=-2x+12-2\sqrt{3}\\
\Leftrightarrow& y=\dfrac{x}{2}+3-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad&\text{ equação da reta que passa por }D\text{ e é perpendicular à }(AE)
\end{align*}[/tex3]
Segunda opção: usar o coeficiente angular de [tex3]\mathcal{R}_1[/tex3]
[tex3]\text{Seja m o coeficiente angular de }(AE)\text{ e }m_1\text{ o coeficiente angular de }\mathcal{R}_1,\\
\text{ e sejam }\alpha\text{ e }\beta\text{ os ângulos formados por }(AE)\text{ e }\mathcal{R}_1\text{com }(Ox)[/tex3]
[tex3]m=\tg{\alpha}=-2\text{ e }m_1=\tg{\beta}=\tg{\big(\alpha+\dfrac{\pi}{2}}\big)=\dfrac{-1}{\tg{\alpha}}=\dfrac{-1}{m}=\dfrac{1}{2}\quad\scriptsize{\big(\tg{(\alpha+\dfrac{\pi}{2})}=\dfrac{\sin{(\alpha+\dfrac{\pi}{2})}}{\cos{(\alpha+\dfrac{\pi}{2})}}=\dfrac{-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}}=\dfrac{-1}{\tg{\alpha}}\big)\\
\begin{align*}\text{e então }P\in\mathcal{R}_1\Leftrightarrow &\dfrac{y-3}{x-\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow &y=\dfrac{x}{2}+3-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}[/tex3]
[c) Determine um ponto no segmento [tex3][OA][/tex3], de modo que a reta que passa por [tex3]P[/tex3] e por [tex3]E[/tex3] divida o quadrado em duas regiões, de tal forma que a área da região que contem o segmento [tex3][OC][/tex3] seja o dobro da área da outra região.
[tex3]\text{Seja }M\text{ a intersecção de }(EP)\text{ com}(BC)\text{ e }M'\text{ sua projeção ortogonal sobre }(OA)[/tex3]
[tex3]\text{Queremos que }área(OPMC)=2\times área(PABM), \text{ e como }área(OPMC)+área(PABM)=área(OABC)=4,\\
\text{queremos que }área(OPMC)=\dfrac{2}{3}\times 4=\dfrac{8}{3}[/tex3]
[tex3]\begin{align*}área(OPMC)=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow &área(OM'MC)+área(M'PM)=\dfrac{8}{3}\\
\Leftrightarrow &2x_M+\dfrac{2(x_P-x_m)}{2}=\dfrac{8}{3}\qquad\text{(1)}\end{align*}[/tex3]
[tex3]\text{E já que :} x_M=||EM||\sin{\widehat{CEM}}=||EM||\sin{\widehat{OEP}}=||EM||\cdot \dfrac{x_p}{||EA||}=x_p\cdot \dfrac{||EC||}{||EO||}=\dfrac{x_p}{2},\qquad\scriptsize{\text{teorema de Tales aplicado à OEA:}\\\dfrac{||EM||}{||EA||}=\dfrac{||EC||}{||EO||}}[/tex3]
[tex3]\begin{align*}(1)\Leftrightarrow& x_{\small{P}}+x_{\small{P}}-\dfrac{x_{\small{P}}}{2}=\dfrac{8}{3}\\
\Leftrightarrow &x_{\small{P}}=\dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{16}{9}\end{align*}
\\
\text{e como }(P\in(OA)\Rightarrow y_{\small{P}}=0),\text{ temos }P=(\dfrac{16}{9},0)[/tex3]
