M02
Na figura [tex3]OABC [/tex3]
é um quadrado e [tex3]CDE [/tex3]
é um triangulo equilátero tal que [tex3]OC=CE=2[/tex3]
.
a) Determine a equação da reta que passa por [tex3]E[/tex3] e por [tex3]A[/tex3]
[tex3]\text{A equação é }\dfrac{y-y_A}{x-x_A}=\dfrac{y_E-y_A}{x_E-x_A}\qquad (1)\\
\\\text{e temos }x_A=|OA|=|OC|=2,\;y_A=0,\;x_E=0,\;x_E=|OC|+|CE|=4\\
(1)\Leftrightarrow\dfrac{y-0}{x-2}=\dfrac{4-0}{0-2}\Leftrightarrow y=-2x+4[/tex3]
b) Determine a equação da reta que passa por [tex3]D[/tex3] e é perpendicular à reta [tex3](AE)[/tex3]
[tex3]\text{Seja P um ponto de coordenadas }\binom{x}{y}\\
\text{Seja }\mathcal{R}_1\text{ a reta que passa por }D\text{ e perpendicular à }(AE)
[/tex3]
Primeira opção: usar o produto scalar de um vetor colinear com [tex3]\mathcal{R}_1[/tex3] com [tex3]\overrightarrow{AE}[/tex3]
[tex3]
\text{Temos }\left \{\begin{array}{l}x_D=||\vec{CD}||\cdot \cos{(\widehat{BCD})}=2\cdot \cos{(\widehat{BCE}-\widehat{DCE})}=2\cos{(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3})}=2\cos{(\dfrac{\pi}{6})}=\sqrt{3}\\
y_D=||OC||+\dfrac{||CE||}{2}=3\end{array}\right.\quad\scriptsize\text{(CDE é equilátero}\Rightarrow\widehat{DCE}=\dfrac{\pi}{3})[/tex3]
[tex3]\text{e }\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{\binom{-2}{4}}\text{ e }\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{\binom{\sqrt{3}-x}{3-y}}[/tex3]
[tex3]\begin{align*}P\in\mathcal{R}_1\Leftrightarrow&\overrightarrow{AE} \perp\overrightarrow{PD}\\\Leftrightarrow &\overrightarrow{AE} \cdot\overrightarrow{PD}=0&\scriptsize\text{(o produto scalar de dois vetores ortogonais é nulo)}\\
\Leftrightarrow&-2(\sqrt{3}-x)+4(3-y)=0\\
\Leftrightarrow&4y=-2x+12-2\sqrt{3}\\
\Leftrightarrow& y=\dfrac{x}{2}+3-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad&\text{ equação da reta que passa por }D\text{ e é perpendicular à }(AE)
\end{align*}[/tex3]
Segunda opção: usar o coeficiente angular de [tex3]\mathcal{R}_1[/tex3]
[tex3]\text{Seja m o coeficiente angular de }(AE)\text{ e }m_1\text{ o coeficiente angular de }\mathcal{R}_1,\\
\text{ e sejam }\alpha\text{ e }\beta\text{ os ângulos formados por }(AE)\text{ e }\mathcal{R}_1\text{com }(Ox)[/tex3]
[tex3]m=\tg{\alpha}=-2\text{ e }m_1=\tg{\beta}=\tg{\big(\alpha+\dfrac{\pi}{2}}\big)=\dfrac{-1}{\tg{\alpha}}=\dfrac{-1}{m}=\dfrac{1}{2}\quad\scriptsize{\big(\tg{(\alpha+\dfrac{\pi}{2})}=\dfrac{\sin{(\alpha+\dfrac{\pi}{2})}}{\cos{(\alpha+\dfrac{\pi}{2})}}=\dfrac{-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}}=\dfrac{-1}{\tg{\alpha}}\big)\\
\begin{align*}\text{e então }P\in\mathcal{R}_1\Leftrightarrow &\dfrac{y-3}{x-\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow &y=\dfrac{x}{2}+3-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}[/tex3]
[c) Determine um ponto no segmento [tex3][OA][/tex3], de modo que a reta que passa por [tex3]P[/tex3] e por [tex3]E[/tex3] divida o quadrado em duas regiões, de tal forma que a área da região que contem o segmento [tex3][OC][/tex3] seja o dobro da área da outra região.
[tex3]\text{Seja }M\text{ a intersecção de }(EP)\text{ com}(BC)\text{ e }M'\text{ sua projeção ortogonal sobre }(OA)[/tex3]
[tex3]\text{Queremos que }área(OPMC)=2\times área(PABM), \text{ e como }área(OPMC)+área(PABM)=área(OABC)=4,\\
\text{queremos que }área(OPMC)=\dfrac{2}{3}\times 4=\dfrac{8}{3}[/tex3]
[tex3]\begin{align*}área(OPMC)=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow &área(OM'MC)+área(M'PM)=\dfrac{8}{3}\\
\Leftrightarrow &2x_M+\dfrac{2(x_P-x_m)}{2}=\dfrac{8}{3}\qquad\text{(1)}\end{align*}[/tex3]
[tex3]\text{E já que :} x_M=||EM||\sin{\widehat{CEM}}=||EM||\sin{\widehat{OEP}}=||EM||\cdot \dfrac{x_p}{||EA||}=x_p\cdot \dfrac{||EC||}{||EO||}=\dfrac{x_p}{2},\qquad\scriptsize{\text{teorema de Tales aplicado à OEA:}\\\dfrac{||EM||}{||EA||}=\dfrac{||EC||}{||EO||}}[/tex3]
[tex3]\begin{align*}(1)\Leftrightarrow& x_{\small{P}}+x_{\small{P}}-\dfrac{x_{\small{P}}}{2}=\dfrac{8}{3}\\
\Leftrightarrow &x_{\small{P}}=\dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{16}{9}\end{align*}
\\
\text{e como }(P\in(OA)\Rightarrow y_{\small{P}}=0),\text{ temos }P=(\dfrac{16}{9},0)[/tex3]
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Pré-Vestibular ⇒ FUVEST 2019 Segunda Fase M02
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