Pré-Vestibular ⇒ FUVEST 2019 segunda fase - M01

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M01

Resolva os três itens abaixo

a) O primeiro termo de uma progressão geométrica de razão positiva é 5, e o terceiro termo é 45. Calcule a soma dos 6 primeiros termos dessa progressão.

[tex3]\text{Seja }(u_n)\text{ a progressão, com }u_1=5\text{, e }q>0\text{ sua razão}\\
\forall n\in\mathbb{N}^*, u_n=u_1\cdot q^{n-1}\\
\begin{align*}\text{e então }u_3=45\Leftrightarrow&u_1\cdot q^{2}=45\\
\Leftrightarrow&q=\sqrt{\dfrac{45}{u_1}}=\sqrt{\dfrac{45}{5}}=3\text{ já que }q\geq0\end{align*}\\
[/tex3]

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[tex3]\text{Seja }(u_n)\text{ a progressão, com }u_1=5\text{, e }q>0\text{ sua razão}\\
\forall n\in\mathbb{N}^*, u_n=u_1\cdot q^{n-1}\\
\begin{align*}\text{e então }u_3=45\Leftrightarrow&u_1\cdot q^{2}=45\\
\Leftrightarrow&q=\sqrt{\dfrac{45}{u_1}}=\sqrt{\dfrac{45}{5}}=3\text{ já que }q\geq0\end{align*}\\
[/tex3]

[tex3]\begin{align*}\text{e }\sum_{i=1}^{6}u_i=u_1\dfrac{1-q^6}{1-q}=5\times\dfrac{1-729}{1-3}=5\times364=1820\end{align*}[/tex3]

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[tex3]\begin{align*}\text{e }\sum_{i=1}^{6}u_i=u_1\dfrac{1-q^6}{1-q}=5\times\dfrac{1-729}{1-3}=5\times364=1820\end{align*}[/tex3]

b) Calcule a soma dos números inteiros positivos menores que 112 e não divisíveis por 4

[tex3]\text{Soma dos inteiros menores que 112:}\sum_{i=0}^{111}=\dfrac{111\times 112}{2}\qquad\qquad\small\text{(Sabemos que }\sum_{i=0}^n i=\dfrac{n(n+1)}{2})\\
\text{Soma dos inteiros múltiplos de 4 menores que 112:}\sum_{i=0}^{27}4i=4\times \dfrac{27\times 28}{2}\qquad\qquad \small(4\times 28=112)\\
\text{Soma dos inteiros menores que 112 não múltiplos de 4:}\dfrac{111\times 112-4\times27\times28}{2}=\dfrac{112\times(111-27)}{2}=\dfrac{9408}{2}=4704[/tex3]

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[tex3]\text{Soma dos inteiros menores que 112:}\sum_{i=0}^{111}=\dfrac{111\times 112}{2}\qquad\qquad\small\text{(Sabemos que }\sum_{i=0}^n i=\dfrac{n(n+1)}{2})\\
\text{Soma dos inteiros múltiplos de 4 menores que 112:}\sum_{i=0}^{27}4i=4\times \dfrac{27\times 28}{2}\qquad\qquad \small(4\times 28=112)\\
\text{Soma dos inteiros menores que 112 não múltiplos de 4:}\dfrac{111\times 112-4\times27\times28}{2}=\dfrac{112\times(111-27)}{2}=\dfrac{9408}{2}=4704[/tex3]

c) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é [tex3]n(2n+1)[/tex3], qualquer que seja [tex3]n\geq 1[/tex3]. Encontre o vigésimo termo dessa progressão.

[tex3]\text{Seja }(u_n)\text{ a progressão aritmética de primeiro termo }u_1\text{ e de razão }a\\
\\\begin{align*}\text{Temos:}&\text{ para }n\in\mathbb{N}^*, u_n=u_1+(n-1)\cdot a\\ &u_1=1\times (2\times 1+1)=3\\
&u_1+u_2=2\times (2\times 2+1)=10\\
&a=u_2-u_1=7\\
\end{align*}\\
\\
\text{e então }u_{2}=10-3=7\text{ e }a=4[/tex3]

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[tex3]\text{Seja }(u_n)\text{ a progressão aritmética de primeiro termo }u_1\text{ e de razão }a\\
\\\begin{align*}\text{Temos:}&\text{ para }n\in\mathbb{N}^*, u_n=u_1+(n-1)\cdot a\\ &u_1=1\times (2\times 1+1)=3\\
&u_1+u_2=2\times (2\times 2+1)=10\\
&a=u_2-u_1=7\\
\end{align*}\\
\\
\text{e então }u_{2}=10-3=7\text{ e }a=4[/tex3]

[tex3]u_{20}=u_1+(20-1)\times a=3+19\times4=79[/tex3]

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[tex3]u_{20}=u_1+(20-1)\times a=3+19\times4=79[/tex3]