Comentem, corrijam!
M01
Em uma competição de vólei, estão inscritos 5 times.Pelo regulamento, todos os times devem se enfrentar apenas uma vez e, ao final da competição, eles serão classificados pelo número de vitórias. Dois ou mais times com o mesmo número de vitórias terão a mesma classificação. Em cada jogo, os times têm probabilidade [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] de vencer.
a) Explique por que 2 times não podem empatar na classificação com 4 vitórias cada um
[tex3]\text{Suponhamos que os times A e B terminem com 4 vitórias cada. }[/tex3] [tex3]\; \text{A teria vencido B e B teria vencido A, o qual é impossível.}[/tex3]
b) Qual é a probabilidade que o primeiro classificado termine a competição com 4 vitórias?
[tex3]\text{Temos }{5\choose 2}=10[/tex3] [tex3]\text{ jogos e o resultado do torneio é uma combinação dos resultados dos 10 jogos,}[/tex3]
[tex3]\text{com cada jogo tendo 2 resultados possiveís:}[/tex3]
[tex3]\text{há }2^{10}\text{ combinações possíveis dos resultados dos 10 jogos}[/tex3]
[tex3]\text{Para qualquer time }T_i\text{, um resultado do torneio que lhe dá 4 vitórias}[/tex3]
[tex3]\text{ é a combinação de:}[/tex3]
[tex3]\text{- uma combinação dos resultados dos seus 4 jogos que lhe dê 4 vitorias: tem uma só ou }{4\choose 4}[/tex3]
[tex3]\text{- qualquer outra combinação de resultados dos outros 6 jogos do torneio, cujo número é }2^6[/tex3]
[tex3]P\big(T_i=4\big)=\dfrac{1\times 2^6}{2^{10}}=\dfrac{1}{16}[/tex3]
[tex3]\begin{array}{rll}P\Big(\bigcup_{i=1}^{5}(T_i=4)\Big)=&\displaystyle \sum_{i=1}^{5}P\big(T_i=4\big)&\text{já que os }T_i=4\text{ são incompatíveis entre se}\\
=&5\times \dfrac{1}{16}&\\
\end{array}[/tex3]
c) Qual é a probabilidade de que os 5 times terminem empatados na classificação?
[tex3]\text{Seja }T_i\text{ o número de vitórias do time i depois de 4 jogos.}[/tex3]
[tex3]\text{Queremos calcular }P(\bigcap_{i=1}^{5}(T_i=2)[/tex3]
Primeira opção: passar pelo evento complementar. Reduziremos o número de cálculos já que aparecerão eventos incompatíveis (as combinações de [tex3]T_i=3[/tex3] e [tex3]T_i=4[/tex3] )
[tex3]\begin{align*}P(\bigcap_{i=1}^{5}(T_i=2)=&1-P\Bigg(\overline{\bigcap_{i=1}^{5}(T_i=2)}\Bigg)=1-P(\bigcup_{i=1}^{5}(T_i=3\cup T_i=4))\\=&1-P((\bigcup_{i=1}^{5}T_i=3)\cup (\bigcup_{i=1}^{5}T_i=4))\\=&1-P(\bigcup_{i=1}^{5}T_i=4)-P(\bigcup_{i=1}^{5}T_i=3)+P((\bigcup_{i=1}^{5}T_i=3)\cap(\bigcup_{j=1}^{5}T_j=4)\end{align*}[/tex3]
[tex3]P\big((\bigcup_{i=1}^{5}T_i=4)\big)=\dfrac{320}{1024}=\dfrac{5}{16}[/tex3]
[tex3]\begin{align*}P\big((\bigcup_{i=1}^{5}T_i=3)\big)=&\sum_{i=1}^{5}P(T_i=3)- \sum_{\substack{i\neq j\\1\leq i,j \leq 5}}P(T_i=3\cap T_j=3)+\sum_{\substack{i\neq j\neq k\\1\leq i,j,k\leq 5}}P(T_i=3\cap T_j=3\cap T_k=3)\\&-\sum_{\substack{i\neq j\neq k\neq l\\1\leq i,j,k,l\leq 5}}P(T_i=3\cap T_j=3\cap T_k=3\cap T_l=3)+ P(\bigcap_{i=1}^{5}P(T_i=3)\\
=&5\times \dfrac{{4 \choose 3}\cdot 2^6}{2^{10}}-{5 \choose 2}\times \dfrac{({3 \choose 2}{3 \choose 3}+{3 \choose 3}{3 \choose 2})\cdot 2^3}{2^{10}}+{5 \choose 3}\times\dfrac{(0+{3 \choose 3}{3 \choose 3}+{3 \choose 3}{3 \choose 3}+0)\cdot 2^1}{2^{10}}+0+0\\ &\text{ já que 4 ou mais times não podem ter 3 vitórias ao mesmo tempo}\\&(\text{teriamos 12 ou mais vitórias para 10 jogos: impossível)}\\
=&\dfrac{1280-480+40}{1024}=\dfrac{840}{1024}=\dfrac{105}{128}\end{align*}[/tex3]
[tex3]\begin{align*}P\Bigg(\Big(\bigcup_{i=1}^{5}T_i=3\Big)\cap\Big(\bigcup_{j=1}^{5}T_j=4\Big)\Bigg)=&P\Bigg(\bigcup_{i=1}^{5}\Big(\bigcup_{j=1}^{5} (T_i=3 \cap T_j=4)\Big)\Bigg)\\
=&\sum_{i=1}^{5}P\Big( \bigcup_{j=1}^{5} (T_i=3 \cap T_j=4) \Big) \text{ já que os }(T_i=3\;\cap \;T_j=4)\text{ são incompatíveis entre eles}\\
=&\sum_{i=1}^{5}\Bigg(\sum_{j=1}^{5}P\Big( T_i=3 \cap T_j=4 \Big)\Bigg)\text{ já que os }(T_i=3\;\cap \;T_j=4)\text{ são incompatíveis entre eles}\\
=&\sum_{i=1}^{5}\Bigg(\sum_{\substack{j=1\\j \neq i}}^{5}P\Big( T_i=3 \cap T_j=4 \Big)+\sum_{j=1}^{5}P\Big( T_i=3 \cap T_i=4 \Big)\Bigg)\\
=&5\times \Big( 4\times \dfrac{{4 \choose 4}{3 \choose 3}\cdot 2^3}{2^{10}}+5\times 0\Big)=\dfrac{160}{1024}=\dfrac{5}{32}\end{align*}[/tex3]
[tex3]\text{E então }P\Big(\bigcap_{i=1}^{5}T_i=2\Big) = \dfrac{1024-320-840+160}{1024}= \dfrac{24}{1024}=\dfrac{3}{128}[/tex3]
Segunda Opção: usar os resultados possíveis dos jogos de 4 times entre eles
[tex3]\text{Seja }C_4\text{ a classificação por número de vitórias depois dos 6 jogos de 4 times entre se,}[/tex3]
[tex3]\text{ou seja um time ainda não jogou contra ninguém}[/tex3]
[tex3]\begin{array}{|c|c|c|l|}\hline\text{Valor de }C_4&\text{Número de combinações entre as }2^{10}&P\Big(\bigcap_{i=1}^{5}T_i=2\mid C_4\Big)&\text{Comentário}\\
\hline (3,2,1,0)&4!\times 2^{4}=384&0&\text{um time já tem 3 vitórias depois de 3 jogos}\\
\hline(3,1,1,1)&4\times \binom{3}{3}\binom{1}{1}\binom{1}{1}\times 2^4=128&0&\text{um time já tem 3 vitórias depois de 3 jogos}\\
\hline(2,2,2,0)&4\times \binom{0}{3} \binom{1}{2} \binom{1}{1}\times 2^4=128&0&\text{um time tem 0 vitória depois de 3 jogos e só}\cr&&&\text{pode alcançar 1 vitória com mais um jogo}\\
\hline(2,2,1,1)&2^{10}-384-128-128=384& \dfrac{1}{16}&\text{A única combinação de resultados dos 4 }\cr&&&\text{últimos jogos,contra o quinto time, que dá}\cr &&&\text{ (2,2,2,2,2) depois de 10 jogos é (0,0,1,1),}\\&&&\text{ entre }2^4=16\text{ possíveis}\\\hline\end{array}[/tex3]
[tex3]\text{E então }[/tex3]
[tex3]\begin{array}{rl}P\Big(\bigcap_{i=1}^{5}T_i=2\Big)=&P\Big(\big(\bigcap_{i=1}^{5}T_i=2\big)\mid C_4=(2,2,1,1)\Big) \times P\big(C_4=(2,2,1,1)\big)\\
=&\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{384}{2^{10}}=\dfrac{1}{2^4}\cdot\dfrac{3\cdot2^7}{2^{10}}=\dfrac{3}{128}=\dfrac{24}{1024}\end{array}[/tex3]
Terceira opção: calcular diretamente [tex3]P\Big(\bigcap_{i=1}^5T_i=2\Big)[/tex3]
[tex3]\begin{align*}P\Big(\bigcap_{i=1}^5T_i=2\Big)=&P(T_1=2)\cdot P\big(T_2=2\mid T_1=2\big)\\&\cdot P\big(T_3=2\mid (T_1=2\cap T_2=2)\big)\\&\cdot P\Big(T_4=2\mid\bigcap_{i=1}^{3}T_i=2\Big)\cdot P\Big(T_5=2\mid\bigcap_{i=1}^{4}T_i=2\Big)\end{align*}[/tex3]
[tex3]P(T_1=2)=\dfrac{{4 \choose 2}\cdot 2^6}{2^{10}}=\dfrac{384}{1024}=\dfrac{3}{8}[/tex3]
[tex3]P(T_2=2\mid T_1=2)=\dfrac{\big(\binom{1}{3}\binom{2}{3}+\binom{2}{3}\binom{1}{3}\big)2^3}{384}=\dfrac{144}{384}=\dfrac{3}{8}[/tex3]
[tex3]\begin{array}{rl}P\big(T_3=2\mid(T_1=2\cap T_2=2)\big)=&\dfrac{\Big(2\times \big(\binom{0}{2}\binom{1}{2}\binom{2}{2}\big)+2\times\big(\binom{0}{2}\binom{2}{2}\binom{1}{2}+\binom{1}{2}\binom{1}{2}\binom{1}{2}\big)+2\times\big(\binom{1}{2}\binom{2}{2}\binom{0}{2}\big)\Big)2^{1}}{144}\\=&\dfrac{(2\times 2 +2\times 10+2\times 2)2^{1}}{144}\\=&\dfrac{56}{144}=\dfrac{7}{18}\end{array}\\\\
P\Big(T_4=2\mid\bigcap_{i=1}^{3}T_i=2\Big)=\dfrac{24}{56}=\dfrac{3}{7}[/tex3]
[tex3]\text{E então }P\Big(\bigcap_{i=1}^5T_i=2\Big)=\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{7}{18}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{3}{128}=\frac{24}{1024}[/tex3]
M02
Considere as funções [tex3]f:\;[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\rightarrow[-1;1][/tex3] e [tex3]g:\;[0;\pi]\rightarrow[-1;1][/tex3] definidas por [tex3]f(x)=\sin{x}[/tex3] e [tex3]g(x)=\cos{x}[/tex3] . Sendo f e g bijetoras, existem funções [tex3]f^{-1}[/tex3] e [tex3]g^{-1}[/tex3] tais que [tex3]f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id[/tex3] e [tex3]g\circ g^{-1}=g^{-1}\circ g=id[/tex3] , em que [tex3]id[/tex3] é a função identidade.
a) Para [tex3]0\leq \alpha\leq 1[/tex3] , mostre que [tex3]g \circ f^{-1}(\alpha)=\sqrt{1-\alpha^2 }[/tex3]
[tex3]g\circ f^{-1}(\alpha) = \cos{(f^{-1}(\alpha))}=\sqrt{1-\sin^2{(f^{-1}(\alpha))}} \text{ já que }0\leq\alpha\leq 1\Rightarrow 0\leq f^{-1}(\alpha)\leq \frac{\pi}{2}\Rightarrow \cos{(f^{-1}(\alpha))}\geq 0[/tex3]
[tex3]\text{Ou seja } g \circ f^{-1}(\alpha)=\sqrt{1-(f\circ f^{-1}(\alpha))^2}=\sqrt{1-\alpha^2}[/tex3]
[tex3]\text{Da mesma forma mostra-se que } f \circ g^{-1}(\alpha)=\sqrt{1-\alpha^2}[/tex3]
b) Mostre que [tex3]f^{-1}(\frac{1}{2}) + g^{-1}(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})=\frac{\pi}{4}[/tex3]
Usar o resultado da primeira questão é um complicação desnecessária quando:
[tex3]\begin{array}{rl}f^{-1}(\dfrac{1}{2}) + g^{-1}(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})=&f^{-1}(\sin{\dfrac{\pi}{6}})+g^{-1}(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})\\
=&\dfrac{\pi}{6} +g^{-1}\Big(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{2}\Big )\\
=&\dfrac{\pi}{6} +g^{-1}\Big(\cos{\dfrac{\pi}{4}}\cos{\dfrac{\pi}{6}}+\sin{\dfrac{\pi}{4}}\sin{\dfrac{\pi}{6}}\Big)\\
=&\dfrac{\pi}{6} +g^{-1}\big (\cos{(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6})}\big)=\dfrac{\pi}{6}+g^{-1}\Big(\cos{\dfrac{\pi}{12}}\Big)\\
=&\dfrac{\pi}{6} +\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}\end{array}[/tex3]
Ou, usando o resultado de a):
[tex3]\begin{array}{rl}\cos{\Big (f^{-1}\big(\dfrac{1}{2}\big)+g^{-1}\big(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\big)\Big)}=&\sqrt{1-\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2}\cdot \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}-\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{1-\Big(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\Big)^2}\\
=&\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}\sqrt{2}}{8}-\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{8}\\
=&\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}\sqrt{2}}{8}-\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{8}\\
=&\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{2}+\sqrt{2}}{8}=\dfrac{4\sqrt{2}}{8}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\
=&\cos{\dfrac{\pi}{4}}
\end{array}[/tex3]
[tex3]\cos{\Big (f^{-1}\big(\dfrac{1}{2}\big)+g^{-1}\big(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\big)\Big)}=\cos{\dfrac{\pi}{4}}\Rightarrow g\Bigg(\cos{\Big (f^{-1}\big(\dfrac{1}{2}\big)+g^{-1}\big(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\big)\Big)}\Bigg)=g\Bigg(\cos{\dfrac{\pi}{4}}\Bigg)\\
\Rightarrow f^{-1}\big(\dfrac{1}{2}\big)+g^{-1}\big(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\big)=\dfrac{\pi}{4}[/tex3]
M03
Sejam C um subconjunto não vazio e P um ponto, ambos em um mesmo plano, tais que [tex3]P\notin C[/tex3] , Diz-se que "P enxerga C sob um ângulo [tex3]\alpha[/tex3] se [tex3]\alpha[/tex3] for a medida do menor ângulo com vértice em P que contenha C.
a) Se C for um circulo de raio r , centrado na origem de um plano cartesiano real, determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam C sob um ângulo de 60 graus
[tex3]\text{Seja O o centro de }\mathcal{C}\text{. As duas retas }P_1,P_2\text{ compondo o ângulo }\alpha\text{ são tangentes de }\mathcal{C}.[/tex3]
[tex3]\text{Sejam A e B os pontos de intersecção entre }P_1,P_2\; e\;C \text{.Sabemos que então }(PA)\;e\;(OA)\\\text{ são perpendiculares.}[/tex3]
[tex3]\text{O é equidistante de }P_1\; e\;P_2\;\;(|OA|=|OB|=r) \text{,e então PO é bissetriz de }\alpha,\\ \text{e }\widehat{OPA}=\frac{\alpha}{2}.[/tex3]
[tex3]\text{No triangulo OPA temos então }\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{|OA|}{|OP|},\;ou\;|OP|=\frac{|OA|}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{r}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}.[/tex3]
[tex3]\text{P pertence ao círculo }\mathcal{C}(O,\frac{r}{\sin{\frac{\alpha}{2}}})\text{ de centro O e de raio }\frac{r}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{r}{\sin{\frac{\pi}{6}}}=2r[/tex3]
b) Se [tex3]\mathcal{C}[/tex3] for a união dos segmentos [tex3]OA[/tex3] e [tex3]OB[/tex3] em que [tex3]O=(0,0)[/tex3] , [tex3]A=(a,0)[/tex3] e [tex3]B=(0,b)[/tex3] , com [tex3]a,b>0[/tex3] , determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam [tex3]\mathcal{C}[/tex3] sob um ângulo de 90 graus.
- [tex3]\text{Se }x>0,y>0\text{ ou }x<0,y<0[/tex3]
[tex3]\alpha=\widehat{APB}\\
\text{no triangulo APB temos } AP^2+BP^2=AB^2\\
\begin{array}{rl}\text{e }AP^2+BP^2=AB^2 \Leftrightarrow&y^2+(x-a)^2+(y-b)^2+x^2=a^2+b^2\\
\Leftrightarrow&x^2-2\dfrac{a}{2}x+y^2-2\dfrac{b}{2}y=0\\
\Leftrightarrow&(x-\dfrac{a}{2})^2+(y-\dfrac{b}{2})^2=\dfrac{a^2+b^2}{4}\\
\Leftrightarrow&P\in \Bigg (\mathcal{C}\Big((\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}),\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\Big)_{x>0,y>0}\bigcup\mathcal{C}\Big((\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}),\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\Big)_{x<0,y<0}\Bigg )\\&\text{arcos de círculo de centro }(\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2})\text{ e de raio }\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\text{ com }(x>0,y>0)\text{ ou }(x<0,y<0)\end{array}[/tex3]
[tex3]\text{E já que: }[/tex3]
[tex3]\begin{align*}\left. \begin{array}{r}x<0\\y<0\end{array}\right\}\Rightarrow & \left \{ \begin{array}{l} (x-\dfrac{a}{2})>\dfrac{a^2}{4} \\ (y-\dfrac{b}{2})>\dfrac{b^2}{4}\end{array} \right. \\
\Rightarrow & \big (x-\dfrac{a}{2}\big )^2+\big (y-\dfrac{b}{2}\big )^2>\dfrac{a^2+b^2}{4}\\
\Rightarrow &\mathcal{C}\Big((\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}),\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\Big)_{x<0,y<0}=\emptyset\end{align*}[/tex3]
[tex3]\text{temos } P\in \mathcal{C}\Big((\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}),\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\Big)_{x>0,y>0}[/tex3] - [tex3]\text{Se }x\leq 0,y\geq 0[/tex3]
[tex3]\alpha=\widehat{BPO}\\
\text{no triangulo OPB temos } BP^2+OP^2=OB^2\\
\begin{array}{rl}\text{e }BP^2+OP^2=OB^2 \Leftrightarrow&x^2+(y-b)^2+x^2+y^2=b^2\\
\Leftrightarrow&x^2+(y-\dfrac{b}{2})^2=\dfrac{b^2}{4}\\
\Leftrightarrow&P\in \mathcal{C}\Big((0,\dfrac{b}{2}),\dfrac{b}{2}\Big)_{x\leq 0,y\geq 0}\end{array}[/tex3] - [tex3]\text{Se }x>0,y<0[/tex3]
[tex3]\alpha=\widehat{APO}\\
\text{no triangulo OPA temos } AP^2+OP^2=OA^2\\
\begin{array}{rl}\text{e }AP^2+OP^2=OA^2 \Leftrightarrow&(x-a)^2+y^2+x^2+y^2=a^2\\
\Leftrightarrow&(x-\dfrac{a}{2})^2+y^2=\dfrac{a^2}{4}\\
\Leftrightarrow&P\in \mathcal{C}\Big((\dfrac{a}{2},0),\dfrac{a}{2}\Big)_{x>0,y<0}\end{array}[/tex3]
E=\mathcal{C}\Big((\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2}),\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\Big)_{x>0,y>0}\bigcup\mathcal{C}\Big((0,\dfrac{b}{2}),\dfrac{b}{2}\Big)_{x\leq 0,y\geq 0}\bigcup\mathcal{C}\Big((\dfrac{a}{2},0),\dfrac{a}{2}\Big)_{x>0,y<0}[/tex3]
M04
Considere a sequência [tex3]a_1=6, a_2=4, a_3=1, a_4=1[/tex3] e [tex3]a_n=a_{n-4}[/tex3] para [tex3]n\geq 5[/tex3] . Defina [tex3]S_n^k=a_n+...+a_{n+k}[/tex3] para [tex3]k\geq 0[/tex3] , isto é a soma de (k+1) termos consecutivos da sequência começanco no n-ésimo, por exemplo [tex3]S_2^1-4+1=5[/tex3]
a) Encontre [tex3]n,k[/tex3] tais que [tex3]S_n^k=20[/tex3]
[tex3]S_6^6=20[/tex3]
b) Para cada inteiro [tex3]j[/tex3] , [tex3]1\leq j \leq 12[/tex3] , encontre [tex3]n,k[/tex3] tais que [tex3]S_n^k=j[/tex3]
[tex3]\begin{array}{ccl>{\Tiny}}j&n&k&S_n^k\\\hline
1&3&0&a_3=1\\
2&4&0&a_4=2\\
3&3&1&a_3=1\\
4&2&0&a_2=4\\
5&2&1&a_2+a_1=4+1=5\\
6&1&0&a_1=6\\
7&2&2& a_2+a_3+a_4=4+1+2=7\\
8&4&1&a_4+a_5=2+6=8\\
9&3&2&a_3+a_4+a_5=1+2+6=9\\
10&1&1&a_1+a_2=6+4=10\\
11&1&2&a_1+a_2+a_3=6+4+1=11\\
12&4&2&a_4+a+5+a_6=2+6+4=12\end{array}[/tex3]
3) Mostre que para qualquer inteiro [tex3]j, j\geq 1[/tex3] , existem inteiros [tex3]n\geq 1,k\geq 0[/tex3] tais que [tex3]S_n^k=j[/tex3]
[tex3]\forall j \in \mathbb{N}^*, \exists p,q \in \mathbb{N} \;/\; j=p\times 13 +q,\text{com }0\leq q<13\\
\text{Ao mesmo tempo, }\forall t\in \mathbb{N}^*, S_t^{3}=13\text{ e } 1\leq q\leq 12 \Rightarrow \exists (u,v) \in \mathbb{N}^*\!\times\! \mathbb{N}\;/\; q=S_u^v[/tex3]
[tex3]\text{Temos então }:\\\begin{array}{rl}j=p\times 13+S_u^v=&\displaystyle\sum_{i=0}^{p-1} S_{u+v+1+4i}^{3}+\sum_{i=u}^{u+v} a_i\\
=&\displaystyle \sum_{i=u+v+1}^{u+v+1+4(p-1)+3}\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!a_i\;\;\;\;\;\;+\sum_{i=u}^{u+v} a_i\\
=&\displaystyle \sum_{i=u}^{u+v+4p} \!\!\!a_i=S_{u}^{v+4p}\\
=&S_n^k \text{ com }n=u\text{ e }k=v+4p\end{array}\\
\\
\text{Demostramos que }\forall j\in\mathbb{N}^*,\;\exists (n,k)\in \mathbb{N}^*\!\!\!\times\!\!\mathbb{N}\;/\;j=S_n^k[/tex3]
M05
Para responder aos itens a) e b) considere a figura correspondente
a) num tetraedro OABC, os ângulos [tex3]\widehat{AOB}[/tex3] , [tex3]\widehat{BOC}[/tex3] e [tex3]\widehat{COA}[/tex3] medem 90 graus. Sejam [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] as medidas dos ângulos [tex3]\widehat{ACO}[/tex3] e [tex3]\widehat{BCO}[/tex3] , respetivamente,expresse o cosseno do ângulo [tex3]\widehat{ACB}[/tex3] em função de [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3]
Figura 1
[tex3]\text{Seja }P_A\text{ o plano contendo O e A e perpendicular à }(BC)\text{,cruzando }(BC)\text{ em D.}\\
\text{Seja }P_B\text{ o plano contendo O e B e perpendicular à }(AC)\text{,cruzando }(AC)\text{ em E.}\\
\text{Notemos que qualquer reta de }P_A\text{ cruzando }(BC)\text{ é perpendicular à }(BC)\text{,e então }\\
(AD)\text{ e }(OD)\text{ são perpendiculares à }(BC).\\
\text{Do mesmo modo,}(BE)\text{ e }(OE)\text{ são perpendiculares à }(AC).[/tex3]
[tex3]\text{Seja }\gamma=\widehat{ACB}. \text{ No triangulo ACB temos }cos{\gamma}=\dfrac{CE}{BC}=\dfrac{CD}{AC};\\
\text{no triangulo OAC temos }\cos{\alpha}=\dfrac{CE}{OC}=\dfrac{OC}{AC};\\
\text{no triangulo OBC temos }\cos{\beta}=\dfrac{CD}{OC}=\dfrac{OC}{BC}\\
\\
\text{e então } \cos{\gamma}=\dfrac{CE}{BC}=\dfrac{OC\cos{\alpha}}{BC}=\dfrac{OC\cos{\alpha}}{\dfrac{OC}{\cos{\beta}}}=\cos{\alpha}\cdot\cos{\beta}[/tex3]
b) Um navio parte do ponto de latitude 0° e de longitude 0°e navega até chagar ao ponto de latitude 45° sul e longitude 45° oeste, seguindo a trajetória que minimiza a distância percorrida. Admita que a terra seja esférica de raio [tex3]R=6000km[/tex3] . Qual foi a distância percorrida pelo navio?
Figura 2
[tex3]\text{Estamos no caso em que: }[/tex3]
- [tex3]C\text{ é o centro do globo terrestre}[/tex3]
- [tex3]CA=CB=6000\;km[/tex3]
- [tex3]\alpha=\beta=\dfrac{\pi}{4}[/tex3]
\text{e então }\gamma=\dfrac{\pi}{3}[/tex3]
[tex3]\text{O arco de círculo de centro C e de raio igual à 6000 km percorrido tem comprimento de:}\\
(6000\times 2\times \pi)\times \dfrac{\dfrac{\pi}{3}}{2\pi}=\dfrac{6000\times 2\times \pi}{6}=2000\times \pi \approx 6280 km[/tex3]
M06
Considere a função real definida por [tex3]f(x)=\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}-x[/tex3]
a) Qual é o domínio de f?
[tex3]f(x)\;existe\;\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} x\neq 0\\x-\dfrac{1}{x}\geq 0\\1-\dfrac{1}{x}\geq 0 \end{array} \right.\\[/tex3]
[tex3]x-\dfrac{1}{x}\geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{x^2-1}{x} \geq 0 \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l}x^2-1\geq 0\;se\;x> 0\\x^2-1\leq 0\;se\;x< 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l}x\geq 1\;se\;x> 0\\x\geq -1\;se\;x< 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x\in [-1;0[\cup]1;+\infty[[/tex3]
[tex3]1-\dfrac{1}{x}\geq 0 \Leftrightarrow 1 \geq \dfrac{1}{x} \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l}x\geq 1\;se\;x> 0\\x\leq 1\;se\;x< 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x\in ]-\infty;0[\cup[1;+\infty[[/tex3]
[tex3]\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*\;\; \cap\;\; \big ([-1;0[\cup]1;+\infty[\big )\;\; \cap \;\;\big (]-\infty;0[\cup[1;+\infty[\big )=[-1;0[\cup[1;+\infty[[/tex3]
b) Encontre o(s) valor(es) de [tex3]x[/tex3] para o(s) qual(is) [tex3]f(x)=0[/tex3]
[tex3]x\in [-1;0[ \Rightarrow \left \{\begin{array}{l}-x>0\\\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}>0 \end{array} \right. \Rightarrow f(x)>0\\
\\
\text{f não tem raiz em }[-1;0[[/tex3]
[tex3]\text{Seja }x\in [1;+\infty[\\
\\
\begin{array}{rl} f(x)=0 \Leftrightarrow &\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}=x-\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}\\
\Leftrightarrow & x-\dfrac{1}{x}=x^2+1-\dfrac{1}{x}-2x\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}\\
\Leftrightarrow & x^2-x+1=2x\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}\\
\Leftrightarrow &x^4-2x^3+3x^2-2x+1=4x^2-4x\\
\Leftrightarrow &x^4-2x^3-x^2+2x+1=0\\
\Leftrightarrow & x^2+\dfrac{1}{x^2} -2(x-\dfrac{1}{x})-1=0\\
\Leftrightarrow & \big (x-\dfrac{1}{x}\big )^2 +2-2(x-\dfrac{1}{x})-1=0\\
\Leftrightarrow & X^2 -2X+1=0 \text{ com }X=x-\dfrac{1}{x}\\
\Leftrightarrow & \big (X-1\big )^2=0 \Leftrightarrow X=1\\
\Leftrightarrow & x-\dfrac{1}{x}=1\\
\Leftrightarrow & x^2-x-1=0\\
\Leftrightarrow & x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \text{ , já que }\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\in [1;+\infty[\text{ e }\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\notin [1;+\infty[\\
\end{array}[/tex3]
[tex3]\text{f admite }\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\text{ como única raiz}[/tex3]
