Pré-Vestibular ⇒ (PUC-RIO) Inequações Logarítmicas Tópico resolvido

[thetruthFMA]

PUC RIO Resolva as inequações logarítmicas a seguir:

[tex3]\frac{ 1 }{ \log_{2} x } - \frac{ 1 }{ \log_{2} x - 1 } < 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{ 1 }{ \log_{2} x } - \frac{ 1 }{ \log_{2} x - 1 } < 1[/tex3]

Resposta

---

S: ]0;1[ U ]2;+ ∞[

[csmarcelo]

Fazendo [tex3]\log_{2}x=y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{2}x=y[/tex3]

[tex3]\frac{1}{y}-\frac{1}{y-1}<1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{y}-\frac{1}{y-1}<1[/tex3]

Daí

[tex3]\frac{y^2-y+1}{y(1-y)}<0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{y^2-y+1}{y(1-y)}<0[/tex3]

O [tex3]\Delta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta[/tex3]

do numerador é negativo e, portanto, [tex3]y^2-y+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y^2-y+1[/tex3]

possui valor positivo para todo [tex3]y\in\mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y\in\mathbb{R}[/tex3]

.

Dessa forma, a expressão à esquerda da desigualdade possuirá valores negativos quando o denominador for negativo, o que ocorrerá quando [tex3]y<0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y<0[/tex3]

ou [tex3]y>1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y>1[/tex3]

.

[tex3]\log_{2}x<0\rightarrow0<x<1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{2}x<0\rightarrow0<x<1[/tex3]

[tex3]\log_{2}x>1\rightarrow x>2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{2}x>1\rightarrow x>2[/tex3]

[thetruthFMA]

[tex3]\frac{1}{y}-\frac{1}{y-1}<1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{y}-\frac{1}{y-1}<1[/tex3]

Por que inverteu o valor do MMC do denominador? Não seria y(y-1)?

[csmarcelo]

Repare que também inverti os sinais no numerador. Não sei porque fiz isso. Acho que estava procurando algum atalho e acabou ficando assim.