Pré-Vestibular ⇒ (HUMANITAS)- Análise Combinatória Tópico resolvido

[skulllsux189]

Verônica esqueceu a senha de seu celular, que é composta
por 4 algarismos entre os 10 algarismos de 0 a 9. Ela sabe
que a senha possui dois algarismos iguais e outros dois algarismos
que não se repetem. Cada vez que digita uma senha
errada, ela deve esperar 5 segundos antes de poder fazer
uma nova tentativa. Se Verônica fizer todas as tentativas
possíveis com esses critérios, a soma dos tempos de espera
entre
todas as tentativas será de, aproximadamente,
(A) 5 horas.
(B) 6 horas.
(C) 4 horas.
(D) 3 horas.
(E) 2 horas.

Resposta

---

b

[csmarcelo]

Existem [tex3]\frac{4!}{2!}=12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4!}{2!}=12[/tex3]

anagramas em um código de 4 símbolos, sendo dois desses iguais.

Esses símbolos distintos podem assumir [tex3]C^{10}_3=120[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^{10}_3=120[/tex3]

combinações de três algarismos.

Cada um dos três símbolos resultantes de cada uma das combinações pode ser o algarismo repetido.

Logo, há [tex3]12\cdot120\cdot3=4320[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12\cdot120\cdot3=4320[/tex3]

códigos possíveis segundo enunciado.

Assim, Verônica levaria, na pior das hipóteses, [tex3]\frac{5(4320-1)}{60^2}\approx\frac{5\cdot4320}{60^2}=6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5(4320-1)}{60^2}\approx\frac{5\cdot4320}{60^2}=6[/tex3]

horas.

[skulllsux189]

Existem [tex3]\frac{4!}{2!}=12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4!}{2!}=12[/tex3]

anagramas em um código de 4 símbolos, sendo dois desses iguais.

Esses símbolos distintos podem assumir [tex3]C^{10}_3=120[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^{10}_3=120[/tex3]

combinações de três algarismos.

Cada um dos três símbolos resultantes de cada uma das combinações pode ser o algarismo repetido.

Logo, há [tex3]12\cdot120\cdot3=4320[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12\cdot120\cdot3=4320[/tex3]

códigos possíveis segundo enunciado.

Assim, Verônica levaria, na pior das hipóteses, [tex3]\frac{5(4320-1)}{60^2}\approx\frac{5\cdot4320}{60^2}=6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5(4320-1)}{60^2}\approx\frac{5\cdot4320}{60^2}=6[/tex3]

horas.

uheuhe, não entendi muito bem, anagramas com combinação, bugou minha cabeça, não é o jeito que eu estou acostumado a pensar,rsrs

[csmarcelo]

Sim, é uma combinação inusitada de raciocínios, mas foi a única forma que vi de resolver. Mas o que está por trás dos anagramas senão uma permutação?

De fato, o termo "anagrama", via de regra, é utilizada em exercícios que envolvem palavras, mas o que é uma palavra senão um conjunto de símbolos ordenados?

Assim, temporariamente, esqueci as diferenças que definem letras e números e, chamando tudo de símbolo, vi que dava para pegar o raciocínio emprestado. E, se parar para pensar, não é o que fazemos o tempo todo na álgebra, onde números desconhecidos são representados por letras? Vamos, então, pelo mesmo caminho.

A senha é composta por 3 símbolos distintos (que chamarei de A, B e C...). Um desses símbolos se repete, formando assim a senha de 4 símbolos. Organizemos, então, esses símbolos de forma arbitrária, por exemplo AABC. Calculando [tex3]P^4_2[/tex3]

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[tex3]P^4_2[/tex3]

, teremos todas as formas de organizar esses símbolos na senha da mesma forma que, por exemplo, [tex3]P^5_{3,2}[/tex3]

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[tex3]P^5_{3,2}[/tex3]

nos diz de quantas formas podemos organizar as letras da palavra ARARA.

O resultado são os 12 "anagramas" que mencionei.

AABC
AACB
ABAC
ACAB
ABCA
ACBA
BAAC
CAAB
BACA
CABA
BCAA
CBAA

Mas, na verdade, esses símbolos são números (algarismos, melhor dizendo), e aí entra a combinação dos 10 algarismos existentes, três a três, para substituirmos as letras.

Mas, por exemplo, escolhamos a combinação 0, 1 e 2. Repare que, para cada algarismo que fizermos igual a A, teremos resultados únicos.

Se, por exemplo, [tex3]A=0[/tex3]

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[tex3]A=0[/tex3]

, as duas primeiras senhas, com base na lista acima, são 0012 e 0021. Repare que quem é B e C não importa, justamente por permutarem.

Se, [tex3]A=1[/tex3]

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[tex3]A=1[/tex3]

, as duas primeiras senhas, com base na lista acima, são 1102 e 1120.

E é isso.