Sim, é uma combinação inusitada de raciocínios, mas foi a única forma que vi de resolver. Mas o que está por trás dos anagramas senão uma permutação?
De fato, o termo "anagrama", via de regra, é utilizada em exercícios que envolvem palavras, mas o que é uma palavra senão um conjunto de símbolos ordenados?
Assim, temporariamente, esqueci as diferenças que definem letras e números e, chamando tudo de símbolo, vi que dava para pegar o raciocínio emprestado. E, se parar para pensar, não é o que fazemos o tempo todo na álgebra, onde números desconhecidos são representados por letras? Vamos, então, pelo mesmo caminho.
A senha é composta por 3 símbolos distintos (que chamarei de A, B e C...). Um desses símbolos se repete, formando assim a senha de 4 símbolos. Organizemos, então, esses símbolos de forma arbitrária, por exemplo AABC. Calculando [tex3]P^4_2[/tex3]
, teremos todas as formas de organizar esses símbolos na senha da mesma forma que, por exemplo, [tex3]P^5_{3,2}[/tex3]
nos diz de quantas formas podemos organizar as letras da palavra ARARA.
O resultado são os 12 "anagramas" que mencionei.
AABC
AACB
ABAC
ACAB
ABCA
ACBA
BAAC
CAAB
BACA
CABA
BCAA
CBAA
Mas, na verdade, esses símbolos são números (algarismos, melhor dizendo), e aí entra a combinação dos 10 algarismos existentes, três a três, para substituirmos as letras.
Mas, por exemplo, escolhamos a combinação 0, 1 e 2. Repare que, para cada algarismo que fizermos igual a A, teremos resultados únicos.
Se, por exemplo, [tex3]A=0[/tex3]
, as duas primeiras senhas, com base na lista acima, são 0012 e 0021. Repare que quem é B e C não importa, justamente por permutarem.
Se, [tex3]A=1[/tex3]
, as duas primeiras senhas, com base na lista acima, são 1102 e 1120.
E é isso.
