Pré-Vestibular ⇒ (HUMANITAS)- Poliedros Tópico resolvido

[skulllsux189]

A relação de Euler estabelece que, em um poliedro convexo
com A arestas, F faces e V vértices, A + 2 = V + F. Um poliedro
convexo possui faces quadrangulares e triangulares, num
total de 27 faces e 25 vértices. A diferença entre o número
de faces quadrangulares e o número de faces triangulares
nesse poliedro é
(A) 9.
(B) 11.
(C) 13.
(D) 15.
(E) 7.

Resposta

---

b

[Planck]

Olá skulllsux189,

Primeiramente, podemos aplicar a Relação de Euler e descobrir o número de arestas:

[tex3]A+2=V+F[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A+2=V+F[/tex3]

[tex3]A+2=25+27[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A+2=25+27[/tex3]

[tex3]\boxed{A=50}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{A=50}[/tex3]

Além disso, podemos fazer que:

[tex3]A=\frac{3\triangle +4\square}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\frac{3\triangle +4\square}{2}[/tex3]

E também:

[tex3]\triangle + \square = 27[/tex3]

Montando um sistema:

[tex3]\begin{cases}
2A=3\triangle +4\square \\
\triangle + \square = 27
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
2A=3\triangle +4\square \\
\triangle + \square = 27
\end{cases}[/tex3]

Mas [tex3]A=50[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=50[/tex3]

, então:

[tex3]\begin{cases}
2\cdot 50=3\triangle +4\square \\
\triangle + \square = 27
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
2\cdot 50=3\triangle +4\square \\
\triangle + \square = 27
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema, do modo que achar melhor, chegamos a:

[tex3]\square=19[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\square=19[/tex3]

[tex3]\triangle=8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle=8[/tex3]

Portanto:

[tex3]\boxed{\square - \triangle =11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\square - \triangle =11}[/tex3]