Pré-Vestibular ⇒ (UERJ) - Sequência Tópico resolvido

[skulllsux189]

Considere a sequência (an) = (2, 3, 1, − 2, ...), n ∈ IN*, com 70 termos, cuja fórmula de recorrência é:

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O último termo dessa sequência é:
(A) 1
(B) 2
(C) − 1
(D) − 2

Resposta

---

D

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Analise o exemplo a seguir

[tex3]a_{5}=a_{4}-a_{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{5}=a_{4}-a_{3}[/tex3]

[tex3]a_{4}=a_{3}-a_{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{4}=a_{3}-a_{2}[/tex3]

[tex3]a_{2}=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{2}=3[/tex3]

[tex3]a_{5}=a_{4}-a_{3}=a_{3}-a_{2}-a_{3}=-a_{2}=-3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{5}=a_{4}-a_{3}=a_{3}-a_{2}-a_{3}=-a_{2}=-3[/tex3]

.
.
.

Podemos generalizar esta fórmula.

[tex3]a_{n-1}=a_{n-2}-a_{n-3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{n-1}=a_{n-2}-a_{n-3}[/tex3]

[tex3]a_{n}=a_{n-1}-a_{n-2}=a_{n-2}-a_{n-3}-a_{n-2}=-a_{n-3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{n}=a_{n-1}-a_{n-2}=a_{n-2}-a_{n-3}-a_{n-2}=-a_{n-3}[/tex3]

.
.
.

Aplicando a mesma fórmula, obtém-se:

[tex3]a_{n}=-a_{n-3}=-(-a_{n-6})=-a_{n-9}...=(-1)^k.a_{n-3k}[/tex3]

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[tex3]a_{n}=-a_{n-3}=-(-a_{n-6})=-a_{n-9}...=(-1)^k.a_{n-3k}[/tex3]

.
.
.

Isto significa que podemos reduzir qualquer termo desconhecido a qualquer termo conhecido.

Conhecemos os termos [tex3]a_{1},a_{2},a_{3}\ e \ a_{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{1},a_{2},a_{3}\ e \ a_{4}[/tex3]

, apresentados no enunciado.

Para n = 70, basta encontrarmos um "k" cuja expressão reduz-se a um dos termos conhecidos. Podemos reduzir ao [tex3]a_{1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{1}[/tex3]

, conforme a expressão a seguir:

70 - 3k = 1 → - 3k = - 69 → k = 23

Finalmente, com n = 70 e k = 23, temos:

[tex3]a_{70}=(-1)^{23}.a_{70-3.23}=-a_{1}=-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{70}=(-1)^{23}.a_{70-3.23}=-a_{1}=-2[/tex3]

Portanto, o último termo vale - 2, alternativa D).



Bons estudos!

[Nh3noenem]

[tex3]a_{n}=-a_{n-3}=-(-a_{n-6})=-a_{n-9}...=(-1)^k.a_{n-3k}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{n}=-a_{n-3}=-(-a_{n-6})=-a_{n-9}...=(-1)^k.a_{n-3k}[/tex3]

você poderia explicar melhor a expressão?