Pré-Vestibular ⇒ FUVEST Função do 2º grau Tópico resolvido

[thetruthFMA]

Considere a função f(x) = √(1 - 2x²)
a) Determine constantes reais α, β e γ de modo que (f(x))² = α[(x² + β)² + γ]
b) Determine os comprimentos dos lados do retângulo de área máxima, com lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse de equação 2x² + y² = 1.

Resposta

---

a) α = -2, β = -1/4 e γ = - 1/16
b) 1 e v2

[snooplammer]

a)
Na verdade [tex3]f(x)=x\sqrt{1-2x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=x\sqrt{1-2x^2}[/tex3]

[tex3]x^2(1-2x^2)=\alpha (x^4+2x^2\beta+\beta^2)+\gamma^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2(1-2x^2)=\alpha (x^4+2x^2\beta+\beta^2)+\gamma^2[/tex3]

Comparação

b)
viewtopic.php?t=42896

[thcunha]

a)
Na verdade [tex3]f(x)=x\sqrt{1-2x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=x\sqrt{1-2x^2}[/tex3]

[tex3]x^2(1-2x^2)=\alpha (x^4+2x^2\beta+\beta^2)+\gamma^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2(1-2x^2)=\alpha (x^4+2x^2\beta+\beta^2)+\gamma^2[/tex3]

Comparação

b)
viewtopic.php?t=42896

poderia fazer um passo a passo da letra a?

[snooplammer]

poderia fazer um passo a passo da letra a?

Polinômios são idênticos, ou seja [tex3]a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+\dots+ a_0 =b_nx^n +b_{n-1}x^{n-1}+\dots+ b_0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+\dots+ a_0 =b_nx^n +b_{n-1}x^{n-1}+\dots+ b_0 [/tex3]

apenas quando [tex3]a_n =b_n, \, a_{n-1} =b_{n-1} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_n =b_n, \, a_{n-1} =b_{n-1} [/tex3]

e assim por diante.

[brunocbbc]

Não estou conseguindo resolver a a)
Alguém poderia ajudar?

[tex3]f(x)=x\sqrt{1-2x^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=x\sqrt{1-2x^2}[/tex3]

[tex3]x^2(1-2x^2)=\alpha (x^4+2x^2\beta+\beta^2)+\gamma^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2(1-2x^2)=\alpha (x^4+2x^2\beta+\beta^2)+\gamma^2[/tex3]

[petras]

brunocbbc,

[tex3]\mathsf{x^2(1-2x^2)=\alpha [(x^4+2x^2\beta+\beta^2)+\gamma]\\
-2x^4+x^2 = \alpha x^4 +\alpha \beta2x^2 +\alpha\beta^2+\alpha\gamma\\
Comparando ~os~ coeficientes:\\\boxed{-2 = \alpha}\color{green}\checkmark\\
1=2\alpha \beta \implies 1 = 2(-2).\beta\therefore \boxed{\beta = -\frac{1}{4}}\color{green}\checkmark\\
\alpha \beta^2+\alpha\gamma = 0 \implies (-2).(-\frac{1}{4})^2+(-2)\gamma = 0\implies\boxed{ \gamma=-\frac{ {1}}{16} }\color{green}\checkmark\\

}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{x^2(1-2x^2)=\alpha [(x^4+2x^2\beta+\beta^2)+\gamma]\\
-2x^4+x^2 = \alpha x^4 +\alpha \beta2x^2 +\alpha\beta^2+\alpha\gamma\\
Comparando ~os~ coeficientes:\\\boxed{-2 = \alpha}\color{green}\checkmark\\
1=2\alpha \beta \implies 1 = 2(-2).\beta\therefore \boxed{\beta = -\frac{1}{4}}\color{green}\checkmark\\
\alpha \beta^2+\alpha\gamma = 0 \implies (-2).(-\frac{1}{4})^2+(-2)\gamma = 0\implies\boxed{ \gamma=-\frac{ {1}}{16} }\color{green}\checkmark\\

}[/tex3]

[brunocbbc]

petras,
Agora entendi como é feito, obrigado petras