Pré-Vestibular ⇒ (Unicamp 2019) Trigonometria e Função Quadrática Tópico resolvido

[Valdir]

Sejam k e [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

números reais tais que sen [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

e cos [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

são soluções da equação quadrática [tex3]2x^2+x+k=0[/tex3]

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[tex3]2x^2+x+k=0[/tex3]

. Então, k é um número:
a) irracional.
b) racional não inteiro.
c) inteiro positivo.
d) inteiro negativo

Resposta

---

B

Eu vi uma resolução e entendi, mas tentei resolver usando arco metade, porém não consegui.
sen [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

+ cos [tex3]\theta = -\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\theta = -\frac{1}{2}[/tex3]

Elevando ao quadrado:
[tex3]sen^2\theta+cos^2\theta+2cos\theta sen\theta = \frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]sen^2\theta+cos^2\theta+2cos\theta sen\theta = \frac{1}{4}[/tex3]

[tex3]sen(2\theta)=-\frac{3}{4}[/tex3]

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[tex3]sen(2\theta)=-\frac{3}{4}[/tex3]

Usando a relação fundamental da trigonometria:
[tex3]cos(2\theta)=\frac{\sqrt7}{4}[/tex3]

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[tex3]cos(2\theta)=\frac{\sqrt7}{4}[/tex3]

Usando arco metade:
[tex3]\frac{\sqrt7}{4}=2cos^2\theta-1[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt7}{4}=2cos^2\theta-1[/tex3]

Não consigo encontrar o erro.
Meu objetivo era encontrar [tex3]sen\theta [/tex3]

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[tex3]sen\theta [/tex3]

e [tex3]cos\theta[/tex3]

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[tex3]cos\theta[/tex3]

para fazer a multiplicação dos dois e igualar a [tex3]\frac{k}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{k}{2}[/tex3]

[csmarcelo]

O problema desse caminho está em saber em que quadrante está [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

.

Porque [tex3]cos(2\theta)=\frac{\sqrt7}{4}[/tex3]

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[tex3]cos(2\theta)=\frac{\sqrt7}{4}[/tex3]

e não [tex3]-\frac{\sqrt7}{4}[/tex3]

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[tex3]-\frac{\sqrt7}{4}[/tex3]

?

[Valdir]

O problema desse caminho está em saber em que quadrante está [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

.

Porque [tex3]cos(2\theta)=\frac{\sqrt7}{4}[/tex3]

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[tex3]cos(2\theta)=\frac{\sqrt7}{4}[/tex3]

e não [tex3]-\frac{\sqrt7}{4}[/tex3]

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[tex3]-\frac{\sqrt7}{4}[/tex3]

?

Entendi, não tinha pensado nisso, muito obrigado.
Mas você consegue encontrar o valor do gabarito com algum dos dois valores de cos [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

possíveis?
Pois eu não consegui chegar a um valor que não fosse irracional.

[csmarcelo]

Suponhamos que [tex3]2\theta[/tex3]

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[tex3]2\theta[/tex3]

esteja no quarto quadrante.

[tex3]\cos(2\theta)=\frac{\sqrt{7}}{4}[/tex3]

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[tex3]\cos(2\theta)=\frac{\sqrt{7}}{4}[/tex3]

Do arco metade

[tex3]\cos(\theta)=-\sqrt{\frac{1+\cos2\theta}{2}}[/tex3]

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[tex3]\cos(\theta)=-\sqrt{\frac{1+\cos2\theta}{2}}[/tex3]

Dessa forma

[tex3]\cos(\theta)=-\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{7}}{4}}{2}}=-\sqrt{\frac{4+\sqrt7}{8}}[/tex3]

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[tex3]\cos(\theta)=-\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{7}}{4}}{2}}=-\sqrt{\frac{4+\sqrt7}{8}}[/tex3]

Calculando o seno

[tex3]\sin(\theta)=\sqrt{1-\(-\sqrt{\frac{4+\sqrt7}{8}}\)^2}=\sqrt{\frac{4-\sqrt7}{8}}[/tex3]

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[tex3]\sin(\theta)=\sqrt{1-\(-\sqrt{\frac{4+\sqrt7}{8}}\)^2}=\sqrt{\frac{4-\sqrt7}{8}}[/tex3]

Daí,

[tex3]\sin\theta\cos\theta=-\(\sqrt{\frac{4-\sqrt7}{8}}\)\(\sqrt{\frac{4+\sqrt7}{8}}\)=-\frac{3}{8}[/tex3]

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[tex3]\sin\theta\cos\theta=-\(\sqrt{\frac{4-\sqrt7}{8}}\)\(\sqrt{\frac{4+\sqrt7}{8}}\)=-\frac{3}{8}[/tex3]

Portanto,

[tex3]\frac{k}{2}=-\frac{3}{8}\therefore k=-\frac{3}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{k}{2}=-\frac{3}{8}\therefore k=-\frac{3}{4}[/tex3]

No fim das contas, o que eu achei que seria um problema, acabou não sendo. Se supormos que [tex3]2\theta[/tex3]

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[tex3]2\theta[/tex3]

está no terceiro quadrante, apesar da inversão de alguns sinais, o resultado é o mesmo.

[snooplammer]

[tex3]\sen \theta+\cos\theta=-\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\sen \theta+\cos\theta=-\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\sen \theta+\cos\theta=-\frac{1}{2} \\
\sen^2 \theta+\cos^2\theta=1
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
\sen \theta+\cos\theta=-\frac{1}{2} \\
\sen^2 \theta+\cos^2\theta=1
\end{cases}[/tex3]

Manipulando e fazendo [tex3]u=\cos\theta[/tex3]

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[tex3]u=\cos\theta[/tex3]

Teremos que [tex3]2u^2+u-\frac{3}{4}=0[/tex3]

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[tex3]2u^2+u-\frac{3}{4}=0[/tex3]

[tex3]u_1=\frac{\sqrt{7}-1}{4}[/tex3]

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[tex3]u_1=\frac{\sqrt{7}-1}{4}[/tex3]

[tex3]u_2=-\frac{1+\sqrt{7}}{2}[/tex3]

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[tex3]u_2=-\frac{1+\sqrt{7}}{2}[/tex3]

Se você usar [tex3]u_1[/tex3]

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[tex3]u_1[/tex3]

terá que [tex3]\sen \theta=u_2[/tex3]

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[tex3]\sen \theta=u_2[/tex3]

Se usar [tex3]u_2[/tex3]

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[tex3]u_2[/tex3]

terá que [tex3]\sen\theta=u_1[/tex3]

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[tex3]\sen\theta=u_1[/tex3]

Logo, tanto faz o quadrante pois o produto das raízes será o mesmo, seja o [tex3]\cos\theta>0[/tex3]

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[tex3]\cos\theta>0[/tex3]

ou [tex3]\cos \theta<0[/tex3]

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[tex3]\cos \theta<0[/tex3]

[csmarcelo]

Sei que o Valdir pediu para desenvolver a questão de uma forma específica, mas, após elevar ao quadrado, já poderíamos ter isolado [tex3]\sin\theta\cos\theta[/tex3]

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[tex3]\sin\theta\cos\theta[/tex3]

, chegando mais rapidamente na resposta. Talvez, inclusive, essa tenha sido a resolução que ele viu.

Vou deixar esse método aqui para que, em futuras consultas, as pessoas possam ver um resolução menos trabalhosa.

Elevando ao quadrado:

[tex3]sen^2\theta+cos^2\theta+2cos\theta sen\theta = \frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]sen^2\theta+cos^2\theta+2cos\theta sen\theta = \frac{1}{4}[/tex3]

Daí,

[tex3]cos\theta sen\theta=-\frac{3}{8}[/tex3]

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[tex3]cos\theta sen\theta=-\frac{3}{8}[/tex3]

E, como

[tex3]cos\theta sen\theta=\frac{k}{2}[/tex3]

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[tex3]cos\theta sen\theta=\frac{k}{2}[/tex3]

Temos que

[tex3]\frac{k}{2}=-\frac{3}{8}\therefore k=-\frac{3}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{k}{2}=-\frac{3}{8}\therefore k=-\frac{3}{4}[/tex3]

[Valdir]

snooplammer,
csmarcelo,
Exatamente Marcelo, obrigado aos dois.