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(Unicamp 2019) Trigonometria e Função Quadrática
Enviado: Ter 12 Mar, 2019 16:24
por Valdir
Sejam k e [tex3]\theta [/tex3]
números reais tais que sen [tex3]\theta [/tex3]
e cos [tex3]\theta [/tex3]
são soluções da equação quadrática [tex3]2x^2+x+k=0[/tex3]
. Então, k é um número:
a) irracional.
b) racional não inteiro.
c) inteiro positivo.
d) inteiro negativo
Eu vi uma resolução e entendi, mas tentei resolver usando arco metade, porém não consegui.
sen [tex3]\theta [/tex3]
+ cos [tex3]\theta = -\frac{1}{2}[/tex3]
Elevando ao quadrado:
[tex3]sen^2\theta+cos^2\theta+2cos\theta sen\theta = \frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]sen(2\theta)=-\frac{3}{4}[/tex3]
Usando a relação fundamental da trigonometria:
[tex3]cos(2\theta)=\frac{\sqrt7}{4}[/tex3]
Usando arco metade:
[tex3]\frac{\sqrt7}{4}=2cos^2\theta-1[/tex3]
Não consigo encontrar o erro.
Meu objetivo era encontrar [tex3]sen\theta [/tex3]
e [tex3]cos\theta[/tex3]
para fazer a multiplicação dos dois e igualar a [tex3]\frac{k}{2}[/tex3]
Re: (Unicamp 2019) Trigonometria e Função Quadrática
Enviado: Ter 12 Mar, 2019 16:40
por csmarcelo
O problema desse caminho está em saber em que quadrante está [tex3]\theta[/tex3]
.
Porque [tex3]cos(2\theta)=\frac{\sqrt7}{4}[/tex3]
e não [tex3]-\frac{\sqrt7}{4}[/tex3]
?
Re: (Unicamp 2019) Trigonometria e Função Quadrática
Enviado: Ter 12 Mar, 2019 17:09
por Valdir
csmarcelo escreveu: ↑Ter 12 Mar, 2019 16:40
O problema desse caminho está em saber em que quadrante está [tex3]\theta[/tex3]
.
Porque [tex3]cos(2\theta)=\frac{\sqrt7}{4}[/tex3]
e não [tex3]-\frac{\sqrt7}{4}[/tex3]
?
Entendi, não tinha pensado nisso, muito obrigado.
Mas você consegue encontrar o valor do gabarito com algum dos dois valores de cos [tex3]\theta [/tex3]
possíveis?
Pois eu não consegui chegar a um valor que não fosse irracional.
Re: (Unicamp 2019) Trigonometria e Função Quadrática
Enviado: Ter 12 Mar, 2019 21:37
por csmarcelo
Suponhamos que [tex3]2\theta[/tex3]
esteja no quarto quadrante.
[tex3]\cos(2\theta)=\frac{\sqrt{7}}{4}[/tex3]
Do arco metade
[tex3]\cos(\theta)=-\sqrt{\frac{1+\cos2\theta}{2}}[/tex3]
Dessa forma
[tex3]\cos(\theta)=-\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{7}}{4}}{2}}=-\sqrt{\frac{4+\sqrt7}{8}}[/tex3]
Calculando o seno
[tex3]\sin(\theta)=\sqrt{1-\(-\sqrt{\frac{4+\sqrt7}{8}}\)^2}=\sqrt{\frac{4-\sqrt7}{8}}[/tex3]
Daí,
[tex3]\sin\theta\cos\theta=-\(\sqrt{\frac{4-\sqrt7}{8}}\)\(\sqrt{\frac{4+\sqrt7}{8}}\)=-\frac{3}{8}[/tex3]
Portanto,
[tex3]\frac{k}{2}=-\frac{3}{8}\therefore k=-\frac{3}{4}[/tex3]
No fim das contas, o que eu achei que seria um problema, acabou não sendo. Se supormos que [tex3]2\theta[/tex3]
está no terceiro quadrante, apesar da inversão de alguns sinais, o resultado é o mesmo.
Re: (Unicamp 2019) Trigonometria e Função Quadrática
Enviado: Ter 12 Mar, 2019 22:01
por snooplammer
[tex3]\sen \theta+\cos\theta=-\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
\sen \theta+\cos\theta=-\frac{1}{2} \\
\sen^2 \theta+\cos^2\theta=1
\end{cases}[/tex3]
Manipulando e fazendo [tex3]u=\cos\theta[/tex3]
Teremos que [tex3]2u^2+u-\frac{3}{4}=0[/tex3]
[tex3]u_1=\frac{\sqrt{7}-1}{4}[/tex3]
[tex3]u_2=-\frac{1+\sqrt{7}}{2}[/tex3]
Se você usar [tex3]u_1[/tex3]
terá que [tex3]\sen \theta=u_2[/tex3]
Se usar [tex3]u_2[/tex3]
terá que [tex3]\sen\theta=u_1[/tex3]
Logo, tanto faz o quadrante pois o produto das raízes será o mesmo, seja o [tex3]\cos\theta>0[/tex3]
ou [tex3]\cos \theta<0[/tex3]
Re: (Unicamp 2019) Trigonometria e Função Quadrática
Enviado: Qua 13 Mar, 2019 08:28
por csmarcelo
Sei que o
Valdir pediu para desenvolver a questão de uma forma específica, mas, após elevar ao quadrado, já poderíamos ter isolado [tex3]\sin\theta\cos\theta[/tex3]
, chegando mais rapidamente na resposta. Talvez, inclusive, essa tenha sido a resolução que ele viu.
Vou deixar esse método aqui para que, em futuras consultas, as pessoas possam ver um resolução menos trabalhosa.
Elevando ao quadrado:
[tex3]sen^2\theta+cos^2\theta+2cos\theta sen\theta = \frac{1}{4}[/tex3]
Daí,
[tex3]cos\theta sen\theta=-\frac{3}{8}[/tex3]
E, como
[tex3]cos\theta sen\theta=\frac{k}{2}[/tex3]
Temos que
[tex3]\frac{k}{2}=-\frac{3}{8}\therefore k=-\frac{3}{4}[/tex3]
Re: (Unicamp 2019) Trigonometria e Função Quadrática
Enviado: Qua 13 Mar, 2019 09:17
por Valdir
snooplammer,
csmarcelo,
Exatamente Marcelo, obrigado aos dois.