Pré-Vestibular ⇒ (Ufv 2000) Operação com Conjuntos Tópico resolvido

[petras]

Resposta

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90

No exercício abaixo a maioria das respostas encontradas nos sites são sempre 90 alunos mas encontro apenas 15.
90 alunos para mim seriam alunos que fazem natação ou capoeira mas não musculação.

Alguém poderia comentar?

Uma academia de ginástica possui 150 alunos, sendo que 40% deles fazem musculação, 20% fazem musculação e natação, 22% fazem natação e capoeira, 18% fazem musculação e capoeira e 12% fazem as três atividades. O número de pessoas que fazem natação é igual ao número de pessoas que fazem capoeira. Pergunta-se:

b) quantos fazem natação e capoeira e não fazem musculação?

100 = 40 + X + X + 12 -( 20+22+18) [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

X = 54%

x = 54% DE 150 = 81
n(M) = 40% 150 = 60
n(M [tex3]\cap N[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cap N[/tex3]

) = 20% 150 = 30
n(N [tex3]\cap C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cap C[/tex3]

) = 22% 150 = 33
n(M [tex3]\cap C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cap C[/tex3]

) = 18% 150 = 27
n(M [tex3]\cap N\cap C [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cap N\cap C [/tex3]

) = 12% 150 = 18

9+18+15+x = 18+12+15+y [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

x - y = 3 (I)
x+y+60+15 = 150 [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

x+y = 75 (II)
(I) + (II) = 2x = 78 [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

x = 39 e portanto y = 36

Natação e Capoeira e não fazem musculação = 15

[Planck]

Olá petras,

Bom, comecei desenhando o Diagrama de Venn:

geogebra-export (4).png (114.2 KiB) Exibido 3126 vezes

Percebi apenas uma divergência quanto ao número daqueles que fazem somente musculação.


Prossegui da seguinte forma:

[tex3]21+9+18+12+15+c+n=150[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]21+9+18+12+15+c+n=150[/tex3]

[tex3]c+n=150-75\rightarrow c+n=75[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c+n=150-75\rightarrow c+n=75[/tex3]

Além disso:

[tex3]c+9+18+15=n+15+18+12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c+9+18+15=n+15+18+12[/tex3]

[tex3]c-n=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c-n=3[/tex3]

Portanto:

[tex3]\begin{cases}
c+n=75 \\
c-n=3
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
c+n=75 \\
c-n=3
\end{cases}[/tex3]

Isso nos leva a:

[tex3]c=39 \text { e } n=36 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c=39 \text { e } n=36 [/tex3]

Como ele pediu aqueles que fazem natação e capoeira, concordo com sua resposta de [tex3]\boxed{15 \text { pessoas}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{15 \text { pessoas}}[/tex3]

.

Confesso que busquei algum jeito para chegar no resultado de [tex3]90[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]90[/tex3]

, porém, consegui apenas usandos as porcentagens e sem retirar a parte da interseção, ou seja, de um modo equivocado chega-se ao [tex3]90[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]90[/tex3]

. A pergunta do exercício também pode ter sido mal formulada - risos.

[csmarcelo]

Do enunciado

22% fazem natação e capoeira,... e 12% fazem as três atividades

Logo, apenas [tex3]22\%-12\%=10\%[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]22\%-12\%=10\%[/tex3]

fazem somente natação e capoeira, o que nos leva às 15 pessoas.

[csmarcelo]

22% fazem natação e capoeira, mas não necessariamente somente essas atividades.
10% fazem somente natação e capoeira.