Considere um triângulo equilátero ABC de lado 1. Traçamos um arco de círculo de centro A ligando B a C, como na figura.
Quanto vale a área da região assinalada, que fica fora do triângulo e dentro do círculo?
Pré-Vestibular ⇒ (PUCRJ) Geometria Plana Tópico resolvido
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Mar 2019
06
14:21
Re: (PUCRJ) Geometria Plana
Vemos inicialmente na figura o Triangulo equilátero, ou seja, podemos afirmar que:
[tex3]B\hat AC=60^\circ[/tex3]
Com isso, precisamos apenas saber qual a Área do Setor Circular e subtrair pela Área do Triângulo
Podemos simplesmente usar Regra de 3 sabendo das propriedades básicas de Circulo e Área de Circulo, então:
[tex3]\frac{360^\circ}{60^\circ}=\frac{\pi r^2}{x}[/tex3]
[tex3]6=\frac{\pi r^2}{x}[/tex3]
[tex3]x=\frac{\pi r^2}{6}[/tex3]
Sendo nesse caso [tex3]r=\overline{AB}=\overline{AC}=1[/tex3]
[tex3]A_\circ=x=\frac{\pi}{6}\ ua[/tex3]
Agora, sobre o Triângulo, por propriedade, sabemos que a Área do Triângulo Equilátero[tex3]=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]
Como [tex3]l=1[/tex3] , então:
[tex3]A_\Delta =\frac{\sqrt{3}}{4}\ ua[/tex3]
Logo, a Área preenchida é:
[tex3]A_p=A_\circ-A_\Delta[/tex3]
[tex3]A_p=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4} [/tex3]
OBS: A propriedade Área do Triângulo Equilátero[tex3]=l\sqrt{3}[/tex3] pode ser adquirida desenvolvendo Pitágoras através da seguinte ideia:
Onde se descobrirá que [tex3]h=\frac {l\sqrt{3}}{2}[/tex3]
E:
[tex3]A_\Delta =\frac {\frac{l}{2}.l\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]A_\Delta=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]B\hat AC=60^\circ[/tex3]
Com isso, precisamos apenas saber qual a Área do Setor Circular e subtrair pela Área do Triângulo
Podemos simplesmente usar Regra de 3 sabendo das propriedades básicas de Circulo e Área de Circulo, então:
[tex3]\frac{360^\circ}{60^\circ}=\frac{\pi r^2}{x}[/tex3]
[tex3]6=\frac{\pi r^2}{x}[/tex3]
[tex3]x=\frac{\pi r^2}{6}[/tex3]
Sendo nesse caso [tex3]r=\overline{AB}=\overline{AC}=1[/tex3]
[tex3]A_\circ=x=\frac{\pi}{6}\ ua[/tex3]
Agora, sobre o Triângulo, por propriedade, sabemos que a Área do Triângulo Equilátero[tex3]=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]
Como [tex3]l=1[/tex3] , então:
[tex3]A_\Delta =\frac{\sqrt{3}}{4}\ ua[/tex3]
Logo, a Área preenchida é:
[tex3]A_p=A_\circ-A_\Delta[/tex3]
[tex3]A_p=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4} [/tex3]
OBS: A propriedade Área do Triângulo Equilátero[tex3]=l\sqrt{3}[/tex3] pode ser adquirida desenvolvendo Pitágoras através da seguinte ideia:
Onde se descobrirá que [tex3]h=\frac {l\sqrt{3}}{2}[/tex3]
E:
[tex3]A_\Delta =\frac {\frac{l}{2}.l\sqrt{3}}{2}[/tex3]
[tex3]A_\Delta=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]
Última edição: LostWalker (Qua 06 Mar, 2019 15:50). Total de 2 vezes.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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Mar 2019
06
15:14
Re: (PUCRJ) Geometria Plana
A área do triângulo equilátero é [tex3]\frac{l^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]
No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)
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Mar 2019
06
15:46
Re: (PUCRJ) Geometria Plana
Meeee, real. Esqueci. Vlw, vou arrumar minha resposta para ficar certinho, dei mancada
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
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