Considere, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de centro C(4, 2) e raio 3, a reta r que passa pelos pontos
A(x, 2), com x < 6, e B(6, 0), e o triângulo OMC, com M ponto médio do segmento BC, conforme mostra a figura.
Nessas condições, determine:
a) uma equação da reta r, sabendo que o ponto A pertence à circunferência.
b) a área do triângulo OMC.
Pré-Vestibular ⇒ geometria analítica - São Camilo
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Mar 2019
06
12:06
Re: geometria analítica - São Camilo
a)
Sabendo que [tex3]A=(x,2)[/tex3] pertence a circunferência, podemos utilizar a própria formula da circunferência, já que o enunciado informa o [tex3]C=(4,2)[/tex3] e [tex3]r=3[/tex3]
[tex3](x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2[/tex3]
[tex3](x-4)^2+(y-2)^2=3^2[/tex3]
[tex3](x-4)^2+(2-2)^2=9[/tex3]
[tex3]x^2-8x+16=9[/tex3]
[tex3]x^2-8x+7=0[/tex3]
Usando relações:
[tex3]x_1+x_2=\frac{-b}{a}[/tex3]
[tex3]x_1.x_2=\frac{c}{a}[/tex3]
[tex3]x_1=1[/tex3]
[tex3]x_2=7[/tex3]
Como na figura, o ponto [tex3]A[/tex3] possui [tex3]x<6[/tex3] ( Do ponto [tex3]B=(6,0)[/tex3] ), então podemos dizer que [tex3]A=(1,2)[/tex3]
Para estabelecer a reta, usaremos o coeficiente angular, sabendo que:
[tex3]m=\frac{(y_1-y_2)}{(x_1-x_2)}[/tex3]
[tex3]m=\frac{(0-2)}{(6-1)}[/tex3]
[tex3]m=\frac{-2}{5}[/tex3]
Como o coeficiente angular é igual ao [tex3]a[/tex3] da função afim, substituímos e usamos um ponto para encontrarmos o [tex3]b[/tex3] (Usarei o ponto [tex3]B[/tex3] para a substituição)
[tex3]r\rightarrow y=ax+b [/tex3]
[tex3]y=\frac{-2}{5}x+b [/tex3]
[tex3]0=\frac{-2}{5}.6+b [/tex3]
[tex3]0=\frac{-12}{5}+b [/tex3]
[tex3]b=\frac{12}{5}[/tex3]
[tex3]r\rightarrow y=\frac{-2}{5}x+\frac{12}{5}[/tex3]
b)
Como [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]\overline{BC}[/tex3] , [tex3]\overline{OM}[/tex3] é Mediana do [tex3]\Delta OBC [/tex3] . O que significa que [tex3]\Delta OCM [/tex3] e [tex3]\Delta OBM [/tex3] possuem áreas iguais.
Sabendo que o Ponto Médio de [tex3]\overline{CB}[/tex3] é calculado desse modo:
[tex3]P_m=\left ( \frac {x_1+x_2}{2}, \frac {y_1+y_2}{2} \right )[/tex3]
[tex3]M=\left ( \frac {4+6}{2}, \frac {2+0}{2} \right )[/tex3]
[tex3]M=(5,1)[/tex3]
Calculando a Área do Triângulo (Aproveitando que a linha horizontal de [tex3]C[/tex3] e [tex3]B[/tex3]
[tex3]A_{\Delta }=\frac{1.6}{2}[/tex3]
[tex3]A_{\Delta }=3\ ua[/tex3]
OBS: Eu aproveitei o segundo Triângulo para fazer dessa forma que, em cálculos, é mais rápido, porém, caso não houvesse tal possibilidade, você deveria encontra a área a partir da Matriz, ficaria que:
[tex3]A_{\Delta }=\frac{|det|}{2}[/tex3]
[tex3]\begin{vmatrix}
x_O & y_O &1 \\
x_C & y_C &1 \\
x_M & y_M & 1
\end{vmatrix}=det[/tex3]
[tex3]\begin{vmatrix}
0 & 0 &1 \\
4 & 2 &1 \\
5 & 1 & 1
\end{vmatrix}=6[/tex3]
[tex3]A_{\Delta }=\frac{|det|}{2}[/tex3]
[tex3]A_{\Delta }=\frac{|6|}{2}[/tex3]
[tex3]A_{\Delta }=3\ ua[/tex3]
Eu só exibi aquela como resposta, pois em questão de vestibulares, atalhos para ganhar tempo são recomendados
Sabendo que [tex3]A=(x,2)[/tex3] pertence a circunferência, podemos utilizar a própria formula da circunferência, já que o enunciado informa o [tex3]C=(4,2)[/tex3] e [tex3]r=3[/tex3]
[tex3](x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2[/tex3]
[tex3](x-4)^2+(y-2)^2=3^2[/tex3]
[tex3](x-4)^2+(2-2)^2=9[/tex3]
[tex3]x^2-8x+16=9[/tex3]
[tex3]x^2-8x+7=0[/tex3]
Usando relações:
[tex3]x_1+x_2=\frac{-b}{a}[/tex3]
[tex3]x_1.x_2=\frac{c}{a}[/tex3]
[tex3]x_1=1[/tex3]
[tex3]x_2=7[/tex3]
Como na figura, o ponto [tex3]A[/tex3] possui [tex3]x<6[/tex3] ( Do ponto [tex3]B=(6,0)[/tex3] ), então podemos dizer que [tex3]A=(1,2)[/tex3]
Para estabelecer a reta, usaremos o coeficiente angular, sabendo que:
[tex3]m=\frac{(y_1-y_2)}{(x_1-x_2)}[/tex3]
[tex3]m=\frac{(0-2)}{(6-1)}[/tex3]
[tex3]m=\frac{-2}{5}[/tex3]
Como o coeficiente angular é igual ao [tex3]a[/tex3] da função afim, substituímos e usamos um ponto para encontrarmos o [tex3]b[/tex3] (Usarei o ponto [tex3]B[/tex3] para a substituição)
[tex3]r\rightarrow y=ax+b [/tex3]
[tex3]y=\frac{-2}{5}x+b [/tex3]
[tex3]0=\frac{-2}{5}.6+b [/tex3]
[tex3]0=\frac{-12}{5}+b [/tex3]
[tex3]b=\frac{12}{5}[/tex3]
[tex3]r\rightarrow y=\frac{-2}{5}x+\frac{12}{5}[/tex3]
b)
Como [tex3]M[/tex3] é ponto médio de [tex3]\overline{BC}[/tex3] , [tex3]\overline{OM}[/tex3] é Mediana do [tex3]\Delta OBC [/tex3] . O que significa que [tex3]\Delta OCM [/tex3] e [tex3]\Delta OBM [/tex3] possuem áreas iguais.
Sabendo que o Ponto Médio de [tex3]\overline{CB}[/tex3] é calculado desse modo:
[tex3]P_m=\left ( \frac {x_1+x_2}{2}, \frac {y_1+y_2}{2} \right )[/tex3]
[tex3]M=\left ( \frac {4+6}{2}, \frac {2+0}{2} \right )[/tex3]
[tex3]M=(5,1)[/tex3]
Calculando a Área do Triângulo (Aproveitando que a linha horizontal de [tex3]C[/tex3] e [tex3]B[/tex3]
[tex3]A_{\Delta }=\frac{1.6}{2}[/tex3]
[tex3]A_{\Delta }=3\ ua[/tex3]
OBS: Eu aproveitei o segundo Triângulo para fazer dessa forma que, em cálculos, é mais rápido, porém, caso não houvesse tal possibilidade, você deveria encontra a área a partir da Matriz, ficaria que:
[tex3]A_{\Delta }=\frac{|det|}{2}[/tex3]
[tex3]\begin{vmatrix}
x_O & y_O &1 \\
x_C & y_C &1 \\
x_M & y_M & 1
\end{vmatrix}=det[/tex3]
[tex3]\begin{vmatrix}
0 & 0 &1 \\
4 & 2 &1 \\
5 & 1 & 1
\end{vmatrix}=6[/tex3]
[tex3]A_{\Delta }=\frac{|det|}{2}[/tex3]
[tex3]A_{\Delta }=\frac{|6|}{2}[/tex3]
[tex3]A_{\Delta }=3\ ua[/tex3]
Eu só exibi aquela como resposta, pois em questão de vestibulares, atalhos para ganhar tempo são recomendados
Última edição: LostWalker (Qua 06 Mar, 2019 12:22). Total de 2 vezes.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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