Pré-Vestibular ⇒ (UFRJ) Geomeria Analítica Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:20100)]

Sejam M1=(1,2), M2=(3,4) e M3=(1,-1) os pontos médios dos lados de um triãngulo. Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo.

Resposta

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A=(-1,-3), B=(-1,2) e C=(7,4)

[csmarcelo]

Estou sem tempo para expor a resolução, mas você pode fazer o seguinte: encontre as equações das retas que passam pelos pontos dados, dois a dois, e depois verifique suas intersecções.

[erihh3]

Seja
M1 o ponto médio de A e B;
M2 o ponto médio de A e C;
M3 o ponto médio de B e C;

Sabendo que o ponto médio entre dois pontos é a média aritmética entre dois pontos, tem-se:

[tex3]\begin{cases}
\frac{A+B}{2}=M1 \\
\frac{A+C}{2}=M2\\
\frac{B+C}{2}=M3
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
\frac{A+B}{2}=M1 \\
\frac{A+C}{2}=M2\\
\frac{B+C}{2}=M3
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\frac{A+B}{2}=(1,2) \\
\frac{A+C}{2}=(3,4)\\
\frac{B+C}{2}=(1,-1)
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
\frac{A+B}{2}=(1,2) \\
\frac{A+C}{2}=(3,4)\\
\frac{B+C}{2}=(1,-1)
\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema, tem-se :

[tex3]A=(3,7)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=(3,7)[/tex3]

[tex3]B=(-1,-3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B=(-1,-3)[/tex3]

[tex3]C=(3,1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C=(3,1)[/tex3]

Para o enunciado dado, a resposta é este acima.

O gabarito que foi colocado junto ao enunciado está errado. Veja que o baricentro das coordenadas do enunciado e do que foi colocado no gabarito é diferente. Com isso, o gabarito ou as coordenadas do enunciado estão errados.