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Sobre a equação [tex3]cos^{2}[/tex3] 2x + [tex3]cos^{2}[/tex3] 5x =1 pode-se afirmar que:
a) não possui solução em [0,[tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3] ]
b)possui única solução em [0,[tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3] ]
c)possui duas soluções em [0,[tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3] ]
d)possui três soluções em [0,[tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3] ]
e)possui quatro soluções em [0,[tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3] ]

Resposta

Gabarito:D, porém encontrei apenas duas soluções.

Usaremos as seguintes relações :

[tex3]i) \quad \cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}[/tex3]

[tex3]ii)\quad\cos (a)+\cos (b)=2\cos \(\frac{a+b}{2}\)\cdot \cos \(\frac{a-b}{2} \)[/tex3]

Reescrevendo a equação pedida :

[tex3]\cos^2 (2x)+\cos^2 (5x)=1[/tex3]

Usando a relação i)

[tex3]\frac{1+\cos(4x)}{2} + \frac{1+\cos(10x)}{2}=1[/tex3]

[tex3]2+\cos (4x)+\cos (10x)=2[/tex3]

[tex3]\cos (4x)+\cos (10x)=0[/tex3]

Usando a relação ii)

[tex3]2\cos \(\frac{4x+10x}{2}\)\cdot \cos \(\frac{10x-4x}{2} \)=0[/tex3]

[tex3]2\cos \(7x\)\cdot \cos \(3x\)=0[/tex3]

Soluções :

a) [tex3]\cos \(7x\)=0[/tex3]

[tex3]7x=k\pi +\pi /2[/tex3]

[tex3]\boxed{x=\frac{k\pi +\pi /2 }{7}}[/tex3]

b) [tex3]\cos \(3x\)=0[/tex3]

[tex3]3x=k\pi +\pi /2[/tex3]

[tex3]\boxed{x=\frac{k\pi +\pi /2 }{3}}[/tex3]

[tex3]k \in \mathbb{Z}[/tex3]

Escrevendo as primeiras soluções positivas ate [tex3]\pi/4[/tex3] .

[tex3]\boxed {\boxed{x= \{ \pi/14,\quad \pi/6, \quad3\pi/14 \}}}[/tex3]

Não acredito que dei bobeira na primeira relação kkk, muito obrigado erihh3!

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