Pré-Vestibular ⇒ (Unifesp) Racionalização Tópico resolvido

[thetruthFMA]

Se 0<a<b, racionalizando o denominador, tem-se que:

[tex3]\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}
[/tex3]

Assim, o valor da soma:
\[\frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} +...+ \frac{1}{\sqrt{999}+\sqrt{1000}}\]

a)[tex3]10\sqrt{10}- 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10\sqrt{10}- 1[/tex3]

b)[tex3]10\sqrt{10}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10\sqrt{10}
[/tex3]

c)99
d)100
e)101

Resposta

---

A

[MateusQqMD]

Olá, thetruthFMA

Vamos usar a dica do enunciado

[tex3]\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}[/tex3]

e aplicá-la para cada fração mostrada.

Note que

[tex3]\frac{1}{ \sqrt2 + 1 }\cdot\frac{\sqrt2 - 1}{\sqrt2 - 1} = \frac{\sqrt2 - 1 }{2 - 1} = \sqrt{2} - 1 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{ \sqrt2 + 1 }\cdot\frac{\sqrt2 - 1}{\sqrt2 - 1} = \frac{\sqrt2 - 1 }{2 - 1} = \sqrt{2} - 1 [/tex3]

e racionalizando também as outras frações, temos

[tex3]\begin{align}\frac{1}{1 + \sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2 + \sqrt3} + \,\,... \,\,+ \frac{1}{\sqrt{999} + \sqrt{1000}} & = \(+ \sqrt{2} - 1 \) + \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \) + \( \sqrt{4} - \sqrt{3} \) + \, .... \, + \( \sqrt{1000} - \sqrt{999} \) \\ & = {\color{red}\cancel{ {\color{black}+ \sqrt{2}}}} - 1 {\color{blue}\cancel{ {\color{black}+ \sqrt{3}}}} {\color{red}\cancel{ {\color{black} - \sqrt{2}}}} \cancel{+ \sqrt{4}} {\color{blue}\cancel{ {\color{black}- \sqrt{3}}}} + \, .... \, + \sqrt{1000} \cancel{- \sqrt{999}} \\ & = -1 + \sqrt{1000} \\ & = 10\sqrt{10} - 1.\end{align}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{align}\frac{1}{1 + \sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2 + \sqrt3} + \,\,... \,\,+ \frac{1}{\sqrt{999} + \sqrt{1000}} & = \(+ \sqrt{2} - 1 \) + \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \) + \( \sqrt{4} - \sqrt{3} \) + \, .... \, + \( \sqrt{1000} - \sqrt{999} \) \\ & = {\color{red}\cancel{ {\color{black}+ \sqrt{2}}}} - 1 {\color{blue}\cancel{ {\color{black}+ \sqrt{3}}}} {\color{red}\cancel{ {\color{black} - \sqrt{2}}}} \cancel{+ \sqrt{4}} {\color{blue}\cancel{ {\color{black}- \sqrt{3}}}} + \, .... \, + \sqrt{1000} \cancel{- \sqrt{999}} \\ & = -1 + \sqrt{1000} \\ & = 10\sqrt{10} - 1.\end{align}[/tex3]