Pré-Vestibular ⇒ (EPUSP-61)Equações Polinomiais Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Dez 2018
31
02:03
(EPUSP-61)Equações Polinomiais
Demonstre que: "Toda equação do tipo [tex3]x^n+a^2x+b=0[/tex3]
, sendo [tex3]n[/tex3]
ímpar e [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
números reais não nulos, admite uma raiz real de sinal contrário ao de [tex3]b[/tex3]
e não admite duas raízes reais distintas".
Última edição: MatheusBorges (Seg 31 Dez, 2018 11:07). Total de 2 vezes.
- It gets easier
- Bojack: Huh?
- Every day, it gets a little easier...But you gotta do it every day. That's the hard part...But it does get easier
- Bojack: Huh?
- Every day, it gets a little easier...But you gotta do it every day. That's the hard part...But it does get easier
Dez 2018
31
15:57
Re: (EPUSP-61)Equações Polinomiais
1)Demonstrando que existe raiz real com sinal contrario ao de b.
[tex3]x^n+a^2x+b=0[/tex3]
[tex3]x\(x^{n-1}+a^2\)=-b[/tex3]
[tex3]x=-\frac{b}{\(x^{n-1}+a^2\)} [/tex3]
analisando o denominador percebemos que como n é impar, n-1 será um número par. Qualquer raiz real do polinomio, já que não ela não pode ser zero, resultara na seguinte conclusão para o denominador:
Seja w a raiz real.
[tex3]w^{n-1}>0[/tex3]
Então
[tex3]w^{n-1}+a^2>0[/tex3]
Com isso, w, raiz real do polinomio, terá sempre sinal contrario ao de b.
2)Demonstrando que só pode existir uma raiz real.
Supor que existe outro elemento satisfazendo as condições pedidas e chegar em um absurdo costuma ser o melhor jeito de mostrar que algo é único.
Vamos, então, fazer isso. Vamos supor que existe pelo menos duas raizes reais diferentes que satisfazem o polinimio do enunciado.
Sejam r e k raízes reais distintas.
Daí
[tex3]r^n+a^2r+b=0[/tex3]
[tex3]k^n+a^2k+b=0[/tex3]
Subtraindo as equações
[tex3]r^n-k^n+a^2(r-k)=0[/tex3]
Levando em conta que n é ímpar e positivo e devido a nossa suposição de r ser diferente de k,tem-se :
[tex3](r-k)\(\frac{r^n-k^n}{r-k}+a^2\)=0[/tex3]
[tex3]\frac{r^n-k^n}{r-k}+a^2=0[/tex3]
por conta de n ser ímpar, tem-se:
Se r>k, [tex3]\frac{r^n-k^n}{r-k}>0[/tex3]
Se r<k, [tex3]\frac{r^n-k^n}{r-k}>0[/tex3]
Logo, já que a é um.número real diferente de 0, temos:
[tex3]\frac{r^n-k^n}{r-k}+a^2>0[/tex3]
No entanto, vimos que [tex3]\frac{r^n-k^n}{r-k}+a^2=0[/tex3] . (ABSURDO!)
Portanto, a única solução possível seria r=k.
A conclusão, então, é que se existir outra raiz real, ela será igual a que existe.
[tex3]x^n+a^2x+b=0[/tex3]
[tex3]x\(x^{n-1}+a^2\)=-b[/tex3]
[tex3]x=-\frac{b}{\(x^{n-1}+a^2\)} [/tex3]
analisando o denominador percebemos que como n é impar, n-1 será um número par. Qualquer raiz real do polinomio, já que não ela não pode ser zero, resultara na seguinte conclusão para o denominador:
Seja w a raiz real.
[tex3]w^{n-1}>0[/tex3]
Então
[tex3]w^{n-1}+a^2>0[/tex3]
Com isso, w, raiz real do polinomio, terá sempre sinal contrario ao de b.
2)Demonstrando que só pode existir uma raiz real.
Supor que existe outro elemento satisfazendo as condições pedidas e chegar em um absurdo costuma ser o melhor jeito de mostrar que algo é único.
Vamos, então, fazer isso. Vamos supor que existe pelo menos duas raizes reais diferentes que satisfazem o polinimio do enunciado.
Sejam r e k raízes reais distintas.
Daí
[tex3]r^n+a^2r+b=0[/tex3]
[tex3]k^n+a^2k+b=0[/tex3]
Subtraindo as equações
[tex3]r^n-k^n+a^2(r-k)=0[/tex3]
Levando em conta que n é ímpar e positivo e devido a nossa suposição de r ser diferente de k,tem-se :
[tex3](r-k)\(\frac{r^n-k^n}{r-k}+a^2\)=0[/tex3]
[tex3]\frac{r^n-k^n}{r-k}+a^2=0[/tex3]
por conta de n ser ímpar, tem-se:
Se r>k, [tex3]\frac{r^n-k^n}{r-k}>0[/tex3]
Se r<k, [tex3]\frac{r^n-k^n}{r-k}>0[/tex3]
Logo, já que a é um.número real diferente de 0, temos:
[tex3]\frac{r^n-k^n}{r-k}+a^2>0[/tex3]
No entanto, vimos que [tex3]\frac{r^n-k^n}{r-k}+a^2=0[/tex3] . (ABSURDO!)
Portanto, a única solução possível seria r=k.
A conclusão, então, é que se existir outra raiz real, ela será igual a que existe.
Última edição: erihh3 (Seg 31 Dez, 2018 16:00). Total de 1 vez.
Ciclo Básico - IME
Dez 2018
31
16:46
Re: (EPUSP-61)Equações Polinomiais
Muito obrigado man 
- It gets easier
- Bojack: Huh?
- Every day, it gets a little easier...But you gotta do it every day. That's the hard part...But it does get easier
- Bojack: Huh?
- Every day, it gets a little easier...But you gotta do it every day. That's the hard part...But it does get easier
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 0 Respostas
- 468 Exibições
-
Última msg por thengcivil
-
- 1 Respostas
- 550 Exibições
-
Última msg por Daleth
-
- 1 Respostas
- 584 Exibições
-
Última msg por LostWalker
-
- 1 Respostas
- 537 Exibições
-
Última msg por marcosdrx
-
- 1 Respostas
- 262 Exibições
-
Última msg por Fibonacci13
