a) [tex3][-4, -3] e [1, 2][/tex3]
b) [tex3][-4, -3] e [3, 4][/tex3]
c)[tex3][-2, -1] e [1, 2][/tex3]
d)[tex3][-3, -2] e [2, 3][/tex3]
e) [tex3][-4, - 3] e [2, 3][/tex3]
Resposta
d
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Pré-Vestibular ⇒ (MACKENZIE) Equação Logarítmica
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tiagosantana
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Dez 2018
27
15:39
(MACKENZIE) Equação Logarítmica
As soluções reais da equação [tex3]2^x - 4 = log_2 (x + 4)[/tex3]
estão nos intervalos
a) [tex3][-4, -3] e [1, 2][/tex3]
b) [tex3][-4, -3] e [3, 4][/tex3]
c)[tex3][-2, -1] e [1, 2][/tex3]
d)[tex3][-3, -2] e [2, 3][/tex3]
e) [tex3][-4, - 3] e [2, 3][/tex3]
d
a) [tex3][-4, -3] e [1, 2][/tex3]
b) [tex3][-4, -3] e [3, 4][/tex3]
c)[tex3][-2, -1] e [1, 2][/tex3]
d)[tex3][-3, -2] e [2, 3][/tex3]
e) [tex3][-4, - 3] e [2, 3][/tex3]
d
Editado pela última vez por ALDRIN em 07 Jan 2019, 13:09, em um total de 1 vez.
Razão: arrumar título
Razão: arrumar título
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vitorPQDT
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Dez 2018
27
18:17
Re: Equação logarítmica
viewtopic.php?t=25149
http://pir2.forumeiros.com/t14227-equacao-logaritmica-2( gostei muito desta resul)
http://pir2.forumeiros.com/t14227-equacao-logaritmica-2( gostei muito desta resul)
Editado pela última vez por vitorPQDT em 27 Dez 2018, 18:19, em um total de 1 vez.
Quanto mais nos elevamos, menores parecemos aos olhos daqueles que não sabem voar.
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erihh3
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Dez 2018
28
15:41
Re: (MACKENZIE) Equação Logarítmica
Restrições :
[tex3]x+4>0[/tex3]
[tex3]x>-4[/tex3]
Sendo isso verdade, o logaritmo existe e podemos reescrever a expressão da seguinte forma:
[tex3]2^x - 4 = log_2 (x + 4)[/tex3]
[tex3]2^{2^x - 4} = x + 4[/tex3]
[tex3]x=2^{2^x - 4} - 4[/tex3]
Seja [tex3]f(x)= 2^x -4[/tex3]
Deste modo, a equação de cima pode ser reescrita como
[tex3]f(f(x))=x[/tex3]
Como f é estritamente crescente, temos que
[tex3]f(x)=x[/tex3]
obs: vou demonstrar isso ao final da questão
Deste modo, basta analisar a expressão equivalente dada por
[tex3]x=2^x-4[/tex3]
[tex3]x+4=2^x[/tex3]
O gráfico da reta [tex3]x+4[/tex3] é conhecido, bem como o esboço do gráfico [tex3]2^x[/tex3] . Com isso, concluímos que existirão apenas duas soluções.
Para sabermos qual o intervalo dessas duas soluções, vamos utilizar o teorema de Bolzano.
[tex3]g(-4).g(-3)>0[/tex3] (solução)
[tex3]g(-3).g(-2)<0[/tex3]
[tex3]g(-2).g(-1)>0[/tex3]
[tex3]g(1).g(2)>0[/tex3]
[tex3]g(2).g(3)<0[/tex3] (solução)
[tex3]g(3).g(4)>0[/tex3]
Vimos então, que existe um número impar de raízes em [tex3][-4, -3][/tex3] e um número impar de raízes em [tex3][2, 3][/tex3] .
Como existem apenas duas raízes, existe apenas uma raiz em cada intervalo.
Demonstração [tex3]f(f(x))=x\Rightarrow f(x)=x[/tex3] se f é cresecente.
Vamos demonstrar por absurdo
Caso1: f(x)>x
Ja que f é crescente, tem-se
[tex3]f(f(x))>f(x)[/tex3]
No entanto, sabemos que [tex3]f(f(x))=x[/tex3] . Daí,
[tex3]x>f(x)[/tex3]
ABSURDO
Pois a hipótese do caso1 foi que f(x)>x. Portanto é impossível que f(x) seja maior que x.
Caso 2: f(x)<x
Ja que f é crescente, tem-se
[tex3]f(f(x))<f(x)[/tex3]
No entanto, sabemos que [tex3]f(f(x))=x[/tex3] . Daí,
[tex3]x<f(x)[/tex3]
ABSURDO
Pois a hipótese do caso1 foi que f(x)<x. Portanto é impossível que f(x) seja menor que x.
Com isso, o único resultado possível é [tex3]f(x)=x[/tex3] .
Obs1: isso não quer dizer que haverá resultado da forma f(x)=x. Isso quer dizer que se houver algum resultado, ele poderá ser encontrado dessa forma. Nós pudemos ver isso na resolução desta questão.
Obs2:é possível encontrar a solução sem usar Bolzano se interpolar a função analisada por um polinomio do segundo grau. Aí você encontraria as raízes aproximadas da função pedida.
[tex3]x+4>0[/tex3]
[tex3]x>-4[/tex3]
Sendo isso verdade, o logaritmo existe e podemos reescrever a expressão da seguinte forma:
[tex3]2^x - 4 = log_2 (x + 4)[/tex3]
[tex3]2^{2^x - 4} = x + 4[/tex3]
[tex3]x=2^{2^x - 4} - 4[/tex3]
Seja [tex3]f(x)= 2^x -4[/tex3]
Deste modo, a equação de cima pode ser reescrita como
[tex3]f(f(x))=x[/tex3]
Como f é estritamente crescente, temos que
[tex3]f(x)=x[/tex3]
obs: vou demonstrar isso ao final da questão
Deste modo, basta analisar a expressão equivalente dada por
[tex3]x=2^x-4[/tex3]
[tex3]x+4=2^x[/tex3]
O gráfico da reta [tex3]x+4[/tex3] é conhecido, bem como o esboço do gráfico [tex3]2^x[/tex3] . Com isso, concluímos que existirão apenas duas soluções.
Para sabermos qual o intervalo dessas duas soluções, vamos utilizar o teorema de Bolzano.
[tex3]g(-4).g(-3)>0[/tex3] (solução)
[tex3]g(-3).g(-2)<0[/tex3]
[tex3]g(-2).g(-1)>0[/tex3]
[tex3]g(1).g(2)>0[/tex3]
[tex3]g(2).g(3)<0[/tex3] (solução)
[tex3]g(3).g(4)>0[/tex3]
Vimos então, que existe um número impar de raízes em [tex3][-4, -3][/tex3] e um número impar de raízes em [tex3][2, 3][/tex3] .
Como existem apenas duas raízes, existe apenas uma raiz em cada intervalo.
Demonstração [tex3]f(f(x))=x\Rightarrow f(x)=x[/tex3] se f é cresecente.
Vamos demonstrar por absurdo
Caso1: f(x)>x
Ja que f é crescente, tem-se
[tex3]f(f(x))>f(x)[/tex3]
No entanto, sabemos que [tex3]f(f(x))=x[/tex3] . Daí,
[tex3]x>f(x)[/tex3]
ABSURDO
Pois a hipótese do caso1 foi que f(x)>x. Portanto é impossível que f(x) seja maior que x.
Caso 2: f(x)<x
Ja que f é crescente, tem-se
[tex3]f(f(x))<f(x)[/tex3]
No entanto, sabemos que [tex3]f(f(x))=x[/tex3] . Daí,
[tex3]x<f(x)[/tex3]
ABSURDO
Pois a hipótese do caso1 foi que f(x)<x. Portanto é impossível que f(x) seja menor que x.
Com isso, o único resultado possível é [tex3]f(x)=x[/tex3] .
Obs1: isso não quer dizer que haverá resultado da forma f(x)=x. Isso quer dizer que se houver algum resultado, ele poderá ser encontrado dessa forma. Nós pudemos ver isso na resolução desta questão.
Obs2:é possível encontrar a solução sem usar Bolzano se interpolar a função analisada por um polinomio do segundo grau. Aí você encontraria as raízes aproximadas da função pedida.
Editado pela última vez por ALDRIN em 07 Jan 2019, 13:09, em um total de 2 vezes.
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