a) [tex3][-4, -3] e [1, 2][/tex3]
b) [tex3][-4, -3] e [3, 4][/tex3]
c)[tex3][-2, -1] e [1, 2][/tex3]
d)[tex3][-3, -2] e [2, 3][/tex3]
e) [tex3][-4, - 3] e [2, 3][/tex3]
Resposta
d
Pré-Vestibular ⇒ (MACKENZIE) Equação Logarítmica
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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tiagosantana 
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Dez 2018
27
15:39
(MACKENZIE) Equação Logarítmica
As soluções reais da equação [tex3]2^x - 4 = log_2 (x + 4)[/tex3]
estão nos intervalos
a) [tex3][-4, -3] e [1, 2][/tex3]
b) [tex3][-4, -3] e [3, 4][/tex3]
c)[tex3][-2, -1] e [1, 2][/tex3]
d)[tex3][-3, -2] e [2, 3][/tex3]
e) [tex3][-4, - 3] e [2, 3][/tex3]
d
a) [tex3][-4, -3] e [1, 2][/tex3]
b) [tex3][-4, -3] e [3, 4][/tex3]
c)[tex3][-2, -1] e [1, 2][/tex3]
d)[tex3][-3, -2] e [2, 3][/tex3]
e) [tex3][-4, - 3] e [2, 3][/tex3]
d
Última edição: ALDRIN (Seg 07 Jan, 2019 13:09). Total de 1 vez.
Razão: arrumar título
Razão: arrumar título
Dez 2018
27
18:17
Re: Equação logarítmica
viewtopic.php?t=25149
http://pir2.forumeiros.com/t14227-equacao-logaritmica-2( gostei muito desta resul)
http://pir2.forumeiros.com/t14227-equacao-logaritmica-2( gostei muito desta resul)
Última edição: vitorPQDT (Qui 27 Dez, 2018 18:19). Total de 1 vez.
Quanto mais nos elevamos, menores parecemos aos olhos daqueles que não sabem voar.
Dez 2018
28
15:41
Re: (MACKENZIE) Equação Logarítmica
Restrições :
[tex3]x+4>0[/tex3]
[tex3]x>-4[/tex3]
Sendo isso verdade, o logaritmo existe e podemos reescrever a expressão da seguinte forma:
[tex3]2^x - 4 = log_2 (x + 4)[/tex3]
[tex3]2^{2^x - 4} = x + 4[/tex3]
[tex3]x=2^{2^x - 4} - 4[/tex3]
Seja [tex3]f(x)= 2^x -4[/tex3]
Deste modo, a equação de cima pode ser reescrita como
[tex3]f(f(x))=x[/tex3]
Como f é estritamente crescente, temos que
[tex3]f(x)=x[/tex3]
obs: vou demonstrar isso ao final da questão
Deste modo, basta analisar a expressão equivalente dada por
[tex3]x=2^x-4[/tex3]
[tex3]x+4=2^x[/tex3]
O gráfico da reta [tex3]x+4[/tex3] é conhecido, bem como o esboço do gráfico [tex3]2^x[/tex3] . Com isso, concluímos que existirão apenas duas soluções.
Para sabermos qual o intervalo dessas duas soluções, vamos utilizar o teorema de Bolzano.
[tex3]g(-4).g(-3)>0[/tex3] (solução)
[tex3]g(-3).g(-2)<0[/tex3]
[tex3]g(-2).g(-1)>0[/tex3]
[tex3]g(1).g(2)>0[/tex3]
[tex3]g(2).g(3)<0[/tex3] (solução)
[tex3]g(3).g(4)>0[/tex3]
Vimos então, que existe um número impar de raízes em [tex3][-4, -3][/tex3] e um número impar de raízes em [tex3][2, 3][/tex3] .
Como existem apenas duas raízes, existe apenas uma raiz em cada intervalo.
Demonstração [tex3]f(f(x))=x\Rightarrow f(x)=x[/tex3] se f é cresecente.
Vamos demonstrar por absurdo
Caso1: f(x)>x
Ja que f é crescente, tem-se
[tex3]f(f(x))>f(x)[/tex3]
No entanto, sabemos que [tex3]f(f(x))=x[/tex3] . Daí,
[tex3]x>f(x)[/tex3]
ABSURDO
Pois a hipótese do caso1 foi que f(x)>x. Portanto é impossível que f(x) seja maior que x.
Caso 2: f(x)<x
Ja que f é crescente, tem-se
[tex3]f(f(x))<f(x)[/tex3]
No entanto, sabemos que [tex3]f(f(x))=x[/tex3] . Daí,
[tex3]x<f(x)[/tex3]
ABSURDO
Pois a hipótese do caso1 foi que f(x)<x. Portanto é impossível que f(x) seja menor que x.
Com isso, o único resultado possível é [tex3]f(x)=x[/tex3] .
Obs1: isso não quer dizer que haverá resultado da forma f(x)=x. Isso quer dizer que se houver algum resultado, ele poderá ser encontrado dessa forma. Nós pudemos ver isso na resolução desta questão.
Obs2:é possível encontrar a solução sem usar Bolzano se interpolar a função analisada por um polinomio do segundo grau. Aí você encontraria as raízes aproximadas da função pedida.
[tex3]x+4>0[/tex3]
[tex3]x>-4[/tex3]
Sendo isso verdade, o logaritmo existe e podemos reescrever a expressão da seguinte forma:
[tex3]2^x - 4 = log_2 (x + 4)[/tex3]
[tex3]2^{2^x - 4} = x + 4[/tex3]
[tex3]x=2^{2^x - 4} - 4[/tex3]
Seja [tex3]f(x)= 2^x -4[/tex3]
Deste modo, a equação de cima pode ser reescrita como
[tex3]f(f(x))=x[/tex3]
Como f é estritamente crescente, temos que
[tex3]f(x)=x[/tex3]
obs: vou demonstrar isso ao final da questão
Deste modo, basta analisar a expressão equivalente dada por
[tex3]x=2^x-4[/tex3]
[tex3]x+4=2^x[/tex3]
O gráfico da reta [tex3]x+4[/tex3] é conhecido, bem como o esboço do gráfico [tex3]2^x[/tex3] . Com isso, concluímos que existirão apenas duas soluções.
Para sabermos qual o intervalo dessas duas soluções, vamos utilizar o teorema de Bolzano.
[tex3]g(-4).g(-3)>0[/tex3] (solução)
[tex3]g(-3).g(-2)<0[/tex3]
[tex3]g(-2).g(-1)>0[/tex3]
[tex3]g(1).g(2)>0[/tex3]
[tex3]g(2).g(3)<0[/tex3] (solução)
[tex3]g(3).g(4)>0[/tex3]
Vimos então, que existe um número impar de raízes em [tex3][-4, -3][/tex3] e um número impar de raízes em [tex3][2, 3][/tex3] .
Como existem apenas duas raízes, existe apenas uma raiz em cada intervalo.
Demonstração [tex3]f(f(x))=x\Rightarrow f(x)=x[/tex3] se f é cresecente.
Vamos demonstrar por absurdo
Caso1: f(x)>x
Ja que f é crescente, tem-se
[tex3]f(f(x))>f(x)[/tex3]
No entanto, sabemos que [tex3]f(f(x))=x[/tex3] . Daí,
[tex3]x>f(x)[/tex3]
ABSURDO
Pois a hipótese do caso1 foi que f(x)>x. Portanto é impossível que f(x) seja maior que x.
Caso 2: f(x)<x
Ja que f é crescente, tem-se
[tex3]f(f(x))<f(x)[/tex3]
No entanto, sabemos que [tex3]f(f(x))=x[/tex3] . Daí,
[tex3]x<f(x)[/tex3]
ABSURDO
Pois a hipótese do caso1 foi que f(x)<x. Portanto é impossível que f(x) seja menor que x.
Com isso, o único resultado possível é [tex3]f(x)=x[/tex3] .
Obs1: isso não quer dizer que haverá resultado da forma f(x)=x. Isso quer dizer que se houver algum resultado, ele poderá ser encontrado dessa forma. Nós pudemos ver isso na resolução desta questão.
Obs2:é possível encontrar a solução sem usar Bolzano se interpolar a função analisada por um polinomio do segundo grau. Aí você encontraria as raízes aproximadas da função pedida.
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