Pré-Vestibular ⇒ (UEPG - 2013) Matrizes Tópico resolvido

[rumoafa]

Sobre a matriz A = [tex3]\begin{pmatrix}
cos 15^{\circ} & -sen 15^{\circ} \\
sen 15^{\circ} & cos15^{\circ}\\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
cos 15^{\circ} & -sen 15^{\circ} \\
sen 15^{\circ} & cos15^{\circ}\\
\end{pmatrix}[/tex3]

, assinale o que for correto.

01) [tex3]A^{2} = \begin{pmatrix}
cos 30^{\circ}& -sen 30^{\circ}\\
sen 30^{\circ} & cos30^{\circ} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A^{2} = \begin{pmatrix}
cos 30^{\circ}& -sen 30^{\circ}\\
sen 30^{\circ} & cos30^{\circ} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

02) det A = 1

04) A + [tex3]A^{t} = \begin{pmatrix}
cos30^{\circ} & 0 \\
2 & cos30^{\circ} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A^{t} = \begin{pmatrix}
cos30^{\circ} & 0 \\
2 & cos30^{\circ} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

08) det (2A) = [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{-1}{2}[/tex3]

16) det [tex3]A^{2}[/tex3]

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[tex3]A^{2}[/tex3]

= 0

Resposta

---

O somatório é 3

Alguém pode me ajudar? Muito obrigada!

[snooplammer]

Eu to almoçando, se ninguém fizer, eu explico o restante daqui a pouco.
Mas o item 02) é de fato verdadeiro

Faça o det dessa matriz 2x2 e perceba que você terá [tex3]\cos^215°+ \sen^215°[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos^215°+ \sen^215°[/tex3]

E da relação fundamental, temos que [tex3]\cos^2 \alpha+\sen^2 \alpha=1[/tex3]

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[tex3]\cos^2 \alpha+\sen^2 \alpha=1[/tex3]

Logo [tex3]\cos^215°+ \sen^215°=1[/tex3]

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[tex3]\cos^215°+ \sen^215°=1[/tex3]

[rumoafa]

Sim! O item dois eu saquei, mas o item um não estou entendendo...

[snooplammer]

Você vai ter que ter uma visão de soma de arcos no item 01)

Perceba que [tex3]\begin{pmatrix}
\cos 15^{\circ} & -\sen 15^{\circ} \\
\sen 15^{\circ} & \cos15^{\circ}\\
\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}
\cos^2 15^{\circ}-\sen^215 & b \\
c & d\\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
\cos 15^{\circ} & -\sen 15^{\circ} \\
\sen 15^{\circ} & \cos15^{\circ}\\
\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}
\cos^2 15^{\circ}-\sen^215 & b \\
c & d\\
\end{pmatrix}[/tex3]

Onde b,c e d tu pode achar fazendo a multiplicação normal.

A sacada que vc tem que ter é saber que [tex3]\cos(a+b)=\cos a \cdot \cos b - \sen a \cdot \sen b[/tex3]

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[tex3]\cos(a+b)=\cos a \cdot \cos b - \sen a \cdot \sen b[/tex3]

Logo o [tex3]a_{11}=cos30^{\circ}[/tex3]

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[tex3]a_{11}=cos30^{\circ}[/tex3]

e assim por diante

[rumoafa]

Ainda não entendi.. Nesse caso quais ângulos estariam sendo somados nessa equação?

[snooplammer]

[tex3]\cos^215°- \sen^215°=\cos 15° \cdot \cos15°-\sen15° \cdot \sen 15°[/tex3]

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[tex3]\cos^215°- \sen^215°=\cos 15° \cdot \cos15°-\sen15° \cdot \sen 15°[/tex3]

Percebemos o caso de [tex3]\cos(a+b)=\cos a \cdot \cos b - \sen a \cdot \sen b[/tex3]

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[tex3]\cos(a+b)=\cos a \cdot \cos b - \sen a \cdot \sen b[/tex3]

Temos que [tex3]a=15°[/tex3]

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[tex3]a=15°[/tex3]

e [tex3]b=15°[/tex3]

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[tex3]b=15°[/tex3]

Logo, [tex3]\cos^215°- \sen^215°=\cos 15° \cdot \cos15°-\sen15° \cdot \sen 15°=\cos(a+b)=\cos(30°)[/tex3]

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[tex3]\cos^215°- \sen^215°=\cos 15° \cdot \cos15°-\sen15° \cdot \sen 15°=\cos(a+b)=\cos(30°)[/tex3]

[snooplammer]

Você vai usar a mesma coisa pros outros, mas no [tex3]a_{12}[/tex3]

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[tex3]a_{12}[/tex3]

e no [tex3]a_{21}[/tex3]

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[tex3]a_{21}[/tex3]

, terá que usar [tex3]sen(a+b)[/tex3]

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[tex3]sen(a+b)[/tex3]

[rumoafa]

Agora eu entendi! Muito obrigada mesmo!

[jopagliarin]

WhatsApp Image 2020-11-13 at 13.06.10.jpeg (37.34 KiB) Exibido 1506 vezes

alguém pode me ajudar? aonde tem a seta, cheguei em (cos15 . -sen15) + (-sen15 . cos15) e não sei como sair

[Deleted User 25040]

jopagliarin não li toda discussão, li apenas uma parte acho então que vc quer deixar tudo em uma função trigonométrica só. vc tem [tex3]\cos 15º(-\sen 15º)-\sen15º\cos15º=-(2\cos15º\sen15º)[/tex3]

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[tex3]\cos 15º(-\sen 15º)-\sen15º\cos15º=-(2\cos15º\sen15º)[/tex3]

mas isso é a expansão do seno do arco duplo
[tex3]\sen(2\alpha)=2\sen\alpha\cos\alpha[/tex3]

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[tex3]\sen(2\alpha)=2\sen\alpha\cos\alpha[/tex3]

no nosso caso [tex3]\alpha=15º[/tex3]

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[tex3]\alpha=15º[/tex3]

[tex3]-\sen(2\cdot15º)=-\sen30º[/tex3]

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[tex3]-\sen(2\cdot15º)=-\sen30º[/tex3]

se não for essa a dúvida me avise.