Pré-Vestibular ⇒ (UEPB) Inequações Tópico resolvido

[danimedrado]

Com relação ao número de soluções inteiras da equação [tex3]\left(\frac{(5-x^{2})(x^{2}-2)}{\sqrt{x^{2}-2x+5}}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{(5-x^{2})(x^{2}-2)}{\sqrt{x^{2}-2x+5}}\right)[/tex3]

>0, podemos garantir que existem:
a. infinitas.
b. quatro.
c. três.
d. seis.
e. duas.

Resposta

---

E

[PedroCosta]

[tex3]\frac{(5-x^2)(x^2-2)}{\sqrt{x^2-2x+5}}>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(5-x^2)(x^2-2)}{\sqrt{x^2-2x+5}}>0[/tex3]

É preciso que o denominador seja diferente de zero E que a função contida na raiz seja maior que zero. Vamos avaliar:
[tex3]x^2-2x+5 \neq 0 \\
\Delta =(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5 \Leftrightarrow \Delta = 4 - 20 \Leftrightarrow \Delta = -16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-2x+5 \neq 0 \\
\Delta =(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5 \Leftrightarrow \Delta = 4 - 20 \Leftrightarrow \Delta = -16[/tex3]

Percebe-se, portanto, que as raízes da função pertencem ao [tex3]\mathbb{C}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{C}[/tex3]

porque [tex3]\Delta < 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta < 0[/tex3]

. Sendo uma função do tipo [tex3]y = ax^2+bx +c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y = ax^2+bx +c[/tex3]

, com [tex3]a\neq0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\neq0[/tex3]

. Ela será estritamente positiva para [tex3]\Delta < 0 \ \wedge a > 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta < 0 \ \wedge a > 0[/tex3]

. Com base nisso, nós podemos reescrever o exercício da seguinte forma:
[tex3](5-x^2)(x^2-2)>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](5-x^2)(x^2-2)>0[/tex3]

Aqui você fará uso do quadro de sinais que te retornará os seguintes intervalos:
[tex3]S = \{x\in \mathbb{R}| -\sqrt{5}<x<-\sqrt{2} \vee \sqrt{2}<x<\sqrt{5}\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = \{x\in \mathbb{R}| -\sqrt{5}<x<-\sqrt{2} \vee \sqrt{2}<x<\sqrt{5}\}[/tex3]

Vamos listar os valores inteiros em cada um dos intervalos:
Para [tex3]x \in ]-\sqrt{5},-\sqrt{2}[[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x \in ]-\sqrt{5},-\sqrt{2}[[/tex3]

: -2.
Para [tex3]x \in ]\sqrt{2}, \sqrt{5}[[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x \in ]\sqrt{2}, \sqrt{5}[[/tex3]

: 2.
Logo, o número de soluções inteiras da equação [tex3]\frac{(5-x^2)(x^2-2)}{\sqrt{x^2-2x+5}}>0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(5-x^2)(x^2-2)}{\sqrt{x^2-2x+5}}>0[/tex3]

é 2.

[danimedrado]

Pedro, não consegui entender como o resultado do delta do denominador influenciou na solução de inequação. Você poderia me explicar melhor?

[PedroCosta]

fgjs.png (21.41 KiB) Exibido 2709 vezes

Observe o gráfico acima que representa a função [tex3]x^2-2x+5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-2x+5[/tex3]

. Note que ela não intercepta o eixo x e que seu valor é sempre positivo independente do valor de x. Por isso, você pode reescrever a inequação como fiz.
No entanto, você precisa tomar cuidado. Em uma primeira análise, você tem a situação da raiz quadrada. Pensando no conjunto dos números reais, de maneira geral, a raiz quadrada assume valores iguais ou maiores que zero. Como consequência disso, caso a função assumisse valores negativos para todo x não poderíamos continuar.

[danimedrado]

Pedro, você poderia me explicar por que nós não utilizamos o denominador?

[petras]

danimedrado,
Como o Pedro bem demonstrou, o denominador será sempre positivo. Portanto para a inequação quociente ser positiva basta que o numerador seja > 0. (> 0) / (+) > 0