Pré-Vestibular ⇒ (Unifacs - BA) Geometria Plana - Área Sombreada Tópico resolvido

[Jhonatan]

Na figura, a área do triângulo ABC mede 54 u.a. e BC = 3EC e EC = 3BD. A partir dessa informação, pode-se concluir que a área sombreada mede:

0e4323f00db28632f4bebc9c3a36da04.jpg (3.88 KiB) Exibido 2349 vezes

01. 18
02. 20
03. 24
04. 30
05. 36

Resposta

---

R: 04.

pessoal, como resolvo a questão ? Obrigado.
Eu consegui que os segmentos BD = EC/3; DE = 5EC/3. Considerei EC = 1, logo, BD = 1/3; DE = 5/3

Sabc = 54 --> BC.h/2 = 54 ---> 3h/2 = 54 --> h = 36.

Daí, no triângulo ADE eu pus a altura que vai de A até o ponto F, dividindo DE em 2 partes iguais: DF = EF = 5/6.
Logo, SADE = 2.SADF.
SADF = (5/6.36)/2 --> SADF = 15.
Logo, SADE = 2. 15 --> SADE = 30.

Portanto, SABD + SAEC = SABC - SADE
Logo, SABD + SAEC = 54 - 30
SABD + SAEC = 24 u.a.

Por que errei ?

[fismatpina]

Você acertou a questão, acredito que o gabarito esteja errado.

Uma outra solução mais rápida e sem particularizar as medidas dos lados seria utilizando a simetria de áreas. Veja que todos os triângulo (ABD, ADE e AEC) possuem a mesma altura. Assim a razão entre suas áreas é a mesma das bases:

[tex3]BC = 3EC = 3.(3BD) = 9BD = 9x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BC = 3EC = 3.(3BD) = 9BD = 9x[/tex3]

[tex3]EC = 3BD = 3x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]EC = 3BD = 3x[/tex3]

[tex3]BD = x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BD = x[/tex3]

[tex3]BC = BD + DE + EC = 9x => DE = 5x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BC = BD + DE + EC = 9x => DE = 5x[/tex3]

[tex3]\frac{[ABD]}{x}=\frac{[ADE]}{5x}=\frac{[AEC]}{3x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{[ABD]}{x}=\frac{[ADE]}{5x}=\frac{[AEC]}{3x}[/tex3]

onde [tex3][ABC] = [ABD]+[ADE]+[AEC] = 54u.a.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][ABC] = [ABD]+[ADE]+[AEC] = 54u.a.[/tex3]

Resolvendo encontramos:

triangulo burro.jpg (5.13 KiB) Exibido 2324 vezes

Logo a área hachurada é:

[tex3]S = 18+6 = 24u.a.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = 18+6 = 24u.a.[/tex3]

[Jhonatan]

Ah, que bom!Fico feliz de saber que o gab estava errado, eu também cheguei nessa mesma resposta,
Obrigado, amigo.