Pré-Vestibular

Mensagem não lidapor **Jhonatan** » 01 Jul 2018, 16:33 · Mensagem não lida por **Jhonatan** » 01 Jul 2018, 16:33

O segmento AB é um diâmetro de uma circunferência e C, um ponto dela, distinto de A e B. A reta VA, V≠A, é perpendicular ao plano da circunferência. O número de faces do tetraedro VABC que são triângulos retângulos é:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

R: e)

Amigos, poderiam me ajudar nessa questão, preferencialmente com uma imagem para que eu possa visualizar melhor ?
Obrigado.

01 Jul 2018, 17:53

Opa, beleza?

: Imagem2.png (29.26 KiB) Exibido 3483 vezes

Bem, segundo o enunciado, a reta [tex3]\overline{AV}[/tex3] é perpendicular ao plano [tex3]\alpha[/tex3] , portanto, é também perpendicular às retas nele contidas [tex3](\overline{AC},\overline{AB})[/tex3] - Assim, as faces [tex3]ACV[/tex3] e [tex3]ABV[/tex3] são triângulos retângulos (ângulo reto em A).

Imaginemos um plano [tex3]\beta[/tex3] que passa pela face [tex3]ACV[/tex3] . Se a reta [tex3]\overline{AV}[/tex3] está contida em [tex3]\beta[/tex3] e é perpendicular ao plano [tex3]\alpha[/tex3] , [tex3]\beta[/tex3] também é perpendicular a [tex3]\alpha[/tex3] .

: Imagem3.png (42.76 KiB) Exibido 3483 vezes

(omiti alguns elementos para facilitar a visualização)

Assim, a reta [tex3]\overline{CV}[/tex3] , contida no plano [tex3]\beta[/tex3] , é perpendicular à reta [tex3]\overline{CB}[/tex3] , contida no plano [tex3]\alpha[/tex3] , já que os dois planos são perpendiculares. Aí, o triângulo [tex3]BCV[/tex3] é retângulo (ângulo reto em C).

Por fim, temos aquele conhecido conceito sobre ângulos inscritos na circunferência:

: Imagem4.png (13.62 KiB) Exibido 3483 vezes

O ângulo C (inscrito) é a metade do arco AB. Se [tex3]\overline{AB}[/tex3] é diâmetro, o arco formado por tais pontos possui [tex3]180º[/tex3] , e o ângulo C vale [tex3]90º[/tex3] . Daí, a face [tex3]ABC[/tex3] também é um triângulo retângulo, com ângulo reto em C.

Vemos, agora, que as 4 faces do tetraedro são triângulos retângulos, portanto, a correta é a letra E.

Espero ter ajudado. Abraço!

Mensagem não lidapor **joaopcarv** » 01 Jul 2018, 18:00 · Mensagem não lida por **joaopcarv** » 01 Jul 2018, 18:00

À semelhança desse exercício: viewtopic.php?f=3&t=65858&p=176714#p176714

: circtetraedro.jpg (49.44 KiB) Exibido 3481 vezes

Só que aqui, ao invés de [tex3]\mathsf{D}[/tex3] , temos [tex3]\mathsf{V}[/tex3] !

Vou literalmente "copiar" o jeito que eu fiz no outro tópico...

[tex3]\mathsf{\overline{VB}^2 \ = \ \overline{AV}^2 \ + \ \overline{AB}^2 \ (I)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\overline{VC}^2 \ = \ \overline{AV}^2 \ + \ \overline{AC}^2 \ (II)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\overline{AB}^2 \ = \ \overline{BC}^2 \ + \ \overline{AC}^2 \ (III)}[/tex3]

Novamente, do jeito que eu fiz...

[tex3]\mathsf{\overline{BD}^2 \ = \ \cancelto{\overline{CV}^2 \ \cancel{- \overline{AC}^2}}{\overline{AV}^2} \ + \ \cancelto{\overline{BC}^2 \ \cancel{+ \ \overline{AC}^2}}{\overline{AB}^2}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{\overline{BV}^2 \ = \ \overline{BC}^2 \ + \ \overline{CV}^2 \ \rightarrow \ \triangle BCV}[/tex3] é retângulo no ponto arbitrário [tex3]\mathsf{V}[/tex3] .

Logo, temos as duas faces [tex3]\mathsf{\triangle ABV}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\triangle ACV}[/tex3] , além da face inscrita à circunferência [tex3]\mathsf{\triangle ABC}[/tex3] e por fim [tex3]\mathsf{\triangle BCV}[/tex3] como triângulos retângulos, logo, [tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{4 \ \ faces}}}[/tex3] .

Podemos resolver também pelo Teorema das Três Perpendiculares, observando que [tex3]\mathsf{\overline{VC}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\overline{VB}}[/tex3] projetam-se no plano de [tex3]\mathsf{\triangle BCV}[/tex3] a partir de [tex3]\mathsf{\overline{AC}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\overline{BC}} [/tex3] , respectivamente. Como esses dois últimos segmentos são perpendiculares, então podemos projetar essa perpendicularidade.

Mensagem não lidapor **joaopcarv** » 01 Jul 2018, 18:01 · Mensagem não lida por **joaopcarv** » 01 Jul 2018, 18:01

AndreBRasera, desculpe ter postado depois... quando e abri para responder, você ainda não havia respondido... daí eu não quis perder toda a resposta rsrs..

01 Jul 2018, 18:06

Desculpa digo eu, amigo hahahaha, isso acontece direto comigo. Elegante resolução!

Mensagem não lidapor **joaopcarv** » 01 Jul 2018, 18:10 · Mensagem não lida por **joaopcarv** » 01 Jul 2018, 18:10

Agradeço pelo elogio, excelente resolução também!!

genial começar pelos planos

Mensagem não lidapor **Jhonatan** » 01 Jul 2018, 18:22 · Mensagem não lida por **Jhonatan** » 01 Jul 2018, 18:22

João e André, obrigado ambos pelas ajudas. Gostei bastante das resoluções dos dois!
João, como nosso amigo André respondeu primeiro, eu pus em "aceitar" a resolução dele por esse motivo, tudo bem ?
Vou por a resolução de ambos no meu material.
Obrigado.

Mensagem não lidapor **joaopcarv** » 01 Jul 2018, 18:28 · Mensagem não lida por **joaopcarv** » 01 Jul 2018, 18:28

Jhonatan, fico feliz em ajudar! Tudo bem, é claro, e é justo né haha

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