Pré-Vestibular ⇒ (UFG) Tetraedro Tópico resolvido

[amy123369]

Um joalheiro produzirá um ornamento para um pingente a partir de uma pedra preciosa, originalmente em forma de cubo. Para isso, ele retirará de cada vértice do cubo um tetraedro cujos vértices são o vértice do cubo e os pontos médios das arestas que concorrem neste vértice. Os tetraedros serão descartados. Nessas condições, o número de faces do poliedro que constitui o ornamento é igual a 14. A fração do volume do cubo original que constitui cada tetraedro retirado é:

Resposta

---

1/48

[jvmago]

A aresta do cubo vale [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

então seu volume será [tex3]V=a^3[/tex3]

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[tex3]V=a^3[/tex3]

Os tetraedros terão arestas côngruas valendo [tex3]\frac{a}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{2}[/tex3]

e na base um triangulo equilátero cujo lado [tex3]l=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]l=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

a altura do triangulo da base será [tex3]h=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}*\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}[/tex3]

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[tex3]h=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}*\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}[/tex3]

como o triangulo da base é equilátero e a distancia de seu baricentro até os vertices são iguais entao a altura está na proporção [tex3]\frac{3x}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{3x}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}[/tex3]

[tex3]x=\frac{a\sqrt{6}}{6}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{a\sqrt{6}}{6}[/tex3]

A altura dos tetraedro será [tex3]H^2+x^2=\frac{a^2}{4}[/tex3]

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[tex3]H^2+x^2=\frac{a^2}{4}[/tex3]

[tex3]H^2=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{6}[/tex3]

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[tex3]H^2=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{6}[/tex3]

[tex3]H^2=\frac{a^2}{12}[/tex3]

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[tex3]H^2=\frac{a^2}{12}[/tex3]

[tex3]H=\frac{a\sqrt{3}}{6}[/tex3]

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[tex3]H=\frac{a\sqrt{3}}{6}[/tex3]

o volume dos tetraedos será:
[tex3]v=\frac{\frac{a^2}{2}*\sqrt{3}}{4}*\frac{a\sqrt{3}}{6}*\frac{1}{3}=\frac{a^3}{48}[/tex3]

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[tex3]v=\frac{\frac{a^2}{2}*\sqrt{3}}{4}*\frac{a\sqrt{3}}{6}*\frac{1}{3}=\frac{a^3}{48}[/tex3]

[tex3]\frac{v}{V}=\frac{a^3}{48}*\frac{1}{a^3}=\frac{1}{48}[/tex3]

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[tex3]\frac{v}{V}=\frac{a^3}{48}*\frac{1}{a^3}=\frac{1}{48}[/tex3]