Pré-Vestibular ⇒ (Insper 2014) Combinação Tópico resolvido

[Liliana]

Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol chamado Copa dos Campeões, disputado apenas pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três sul-americanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Espanha). As oito seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B em São Paulo. Considerando os integrantes de cada grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é:
a)140.
b)120.
c)70.
d)60.
e)40.

Resposta

---

d)

Gostaria que alguém apontasse onde está meu erro, por gentileza, pois pra mim, minha resolução faz sentido.

Quando me deparo com esses exercícios de contagem que sempre tem uma exceção (nesse caso, as três sul-americanas não podem estar no mesmo grupo), eu prefiro contar todas as possibilidades, para depois descontar o que não pode.
Então, Como são 2 times de 4 cada, eu fiz uma combinação C8,4= 70. Logo, há 70 maneiras diferentes de dividir 8 times em 4.
70*2= 140, pois podem ser tanto do grupo A como do B.
Mas, como tem a exceção, então, há 5 maneiras diferentes das 3 sul-americanas ficarem no mesmo grupo
_._._._, sendo as três primeiras pelas sul-americanas, restam 5 times, então.
Depois, multipliquei 5 por 2, pois podem estar tanto no A como no B.
Subtraindo, deu 130, mas nem tem esse gabarito.

Por gentileza, alguém fale onde eu errei, pois prefiro mais saber onde errei do que só "engolir" a maneira correta.
Grata!!

[csmarcelo]

Você se equivocou ao multiplicar o total também por 2.

Em [tex3]C^8_4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^8_4[/tex3]

, você não define apenas as equipes de um dos grupos, mas de ambos. Ao multiplicar por dois, está repetindo as divisões.

[Liliana]

csmarcelo,
Eu até pensei nisso, mas se fosse seguir esse raciocínio, eu só encontraria 5 para subtrair, e não 10, e não daria resultado do mesmo jeito...

[csmarcelo]

Não, porque você está calculando os dez manualmente. Você precisa multiplicar por 2 para considerar os três times sul americanos nas duas cidades. Nesse ponto você fez certo.

Agora, ao fazer [tex3]C^8_4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^8_4[/tex3]

você está definindo, por exemplo, que Uruguai, Brasil, Argentina e Itália formam um grupo para a cidade A. Isso faz com que Alemanha, Inglaterra, França e Espanha estejam em um grupo da cidade B. No entanto, você também está definindo que Alemanha, Inglaterra, França e Espanha formam um grupo para a cidade A e, consequentemente, Uruguai, Brasil, Argentina e Itália formam um grupo para a cidade B. Ou seja, não é necessário multiplicar por 2, pois cada grupo já se encontra em ambas as cidades.