Pré-Vestibular ⇒ (UFC - 2001) Determinantes Tópico resolvido

[rumoafa]

O determinante da matriz mostrada na figura adiante é igual a:

[tex3]\begin{bmatrix}
\cos\frac{5\pi}{12} & \sen\frac{\pi}{12} & 1\\
\sen\frac{5\pi}{12} & \sen\frac{\pi}{12} & 1\\
\cos\frac{5\pi}{12} & \cos\frac{\pi}{12} & 1\\
\end{bmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{bmatrix}
\cos\frac{5\pi}{12} & \sen\frac{\pi}{12} & 1\\
\sen\frac{5\pi}{12} & \sen\frac{\pi}{12} & 1\\
\cos\frac{5\pi}{12} & \cos\frac{\pi}{12} & 1\\
\end{bmatrix}[/tex3]

a) 0
b) 0,5
c) 1
d) 1,5
e) 2

Resposta

---

Letra b

[Cardoso1979]

Observe:

Solução

Como

[tex3]• cos \ \frac{5π}{12} = sen \ ( \frac{π}{2}- \frac{5π}{12})=sen \ \frac{π}{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]• cos \ \frac{5π}{12} = sen \ ( \frac{π}{2}- \frac{5π}{12})=sen \ \frac{π}{12}[/tex3]

e
[tex3]• sen \ \frac{5π}{12} = cos \ ( \frac{π}{2}- \frac{5π}{12})=cos \ \frac{π}{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]• sen \ \frac{5π}{12} = cos \ ( \frac{π}{2}- \frac{5π}{12})=cos \ \frac{π}{12}[/tex3]

Temos que;

[tex3]\begin{bmatrix}
\sen\frac{\pi}{12} & \sen\frac{\pi}{12} & 1\\
\cos\frac{\pi}{12} & \sen\frac{\pi}{12} & 1\\
\sen\frac{\pi}{12} & \cos\frac{\pi}{12} & 1\\
\end{bmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{bmatrix}
\sen\frac{\pi}{12} & \sen\frac{\pi}{12} & 1\\
\cos\frac{\pi}{12} & \sen\frac{\pi}{12} & 1\\
\sen\frac{\pi}{12} & \cos\frac{\pi}{12} & 1\\
\end{bmatrix}[/tex3]

Calculando o determinante acima, resulta;

[tex3]\det = cos\frac{π}{12}.cos\frac{π}{12}+sen\frac{π}{12}.sen\frac{π}{12} +sen\frac{π}{12}.sen\frac{π}{12}- cos\frac{π}{12}.sen\frac{π}{12} - sen\frac{π}{12}.sen\frac{π}{12} - cos\frac{π}{12}.sen\frac{π}{12} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\det = cos\frac{π}{12}.cos\frac{π}{12}+sen\frac{π}{12}.sen\frac{π}{12} +sen\frac{π}{12}.sen\frac{π}{12}- cos\frac{π}{12}.sen\frac{π}{12} - sen\frac{π}{12}.sen\frac{π}{12} - cos\frac{π}{12}.sen\frac{π}{12} [/tex3]

[tex3]\det = (cos\frac{π}{12}.cos\frac{π}{12}+sen\frac{π}{12}.sen\frac{π}{12}) - 2.sen\frac{π}{12}.cos\frac{π}{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\det = (cos\frac{π}{12}.cos\frac{π}{12}+sen\frac{π}{12}.sen\frac{π}{12}) - 2.sen\frac{π}{12}.cos\frac{π}{12}[/tex3]

[tex3]\det = cos ( \frac {π}{12} - \frac{π}{12})- [ sen \left(\frac{π}{6}\right) + sen \ 0 ][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\det = cos ( \frac {π}{12} - \frac{π}{12})- [ sen \left(\frac{π}{6}\right) + sen \ 0 ][/tex3]

det = cos 0 - ( 1/2 )

det = 1 - ( 1/2 )

[tex3]det = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]det = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}[/tex3]

Portanto, o valor do determinante da matriz é 0,5 , alternativa b).


Bons estudos!

[Killin]

Uma outra forma, temos que: [tex3]\left| \begin{array}{rcr}
sen \ 15 & sen \ 15 & 1 \\
sen \ 75 & sen \ 15 & 1\\
sen \ 15 & sen\ 75 & 1\\

\end{array} \right|=\left| \begin{array}{rcr}
1 & sen \ 15 & sen \ 15 \\
1 & sen \ 75 & sen \ 15\\
1 & sen\ 15 & sen \ 75\\

\end{array} \right| = \left| \begin{array}{rcr}
sen \ 75 -sen \ 15 & 0 \\
0 & sen \ 75 - sen \ 15 \\

\end{array} \right|= (cos \ 15- sen\ 15)^2=1-0,5= \boxed{0,5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left| \begin{array}{rcr}
sen \ 15 & sen \ 15 & 1 \\
sen \ 75 & sen \ 15 & 1\\
sen \ 15 & sen\ 75 & 1\\

\end{array} \right|=\left| \begin{array}{rcr}
1 & sen \ 15 & sen \ 15 \\
1 & sen \ 75 & sen \ 15\\
1 & sen\ 15 & sen \ 75\\

\end{array} \right| = \left| \begin{array}{rcr}
sen \ 75 -sen \ 15 & 0 \\
0 & sen \ 75 - sen \ 15 \\

\end{array} \right|= (cos \ 15- sen\ 15)^2=1-0,5= \boxed{0,5}[/tex3]

[rumoafa]

O que acontece na terceira parte? E como depois subtrai 0,5?
Obrigada!

[Killin]

Da segunda para a terceira parte foi aplicado a regra de Chió; o -0,5 vem de -2sen(15)cos(15) = - sen (30).

[rumoafa]

Só uma última pergunta , por que teve que subtrair o sen 30?
Obrigada de novo!

[Killin]

O determinante ficou [tex3](cos \ 15- sen \ 15)^2=(sen^2 \ 15+ cos^2 \ 15) - (2sen \ 15 \cdot cos \ 15)=(1)-(0,5)=0,5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](cos \ 15- sen \ 15)^2=(sen^2 \ 15+ cos^2 \ 15) - (2sen \ 15 \cdot cos \ 15)=(1)-(0,5)=0,5[/tex3]