Pré-Vestibular ⇒ Insper - Geometria Plana Tópico resolvido

[Liss15]

Oi, gente! Tudo certo?
Pessoal, poderiam me ajudar nessa questão abaixo?
Agradeço desde já!

As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como “Octógonos”. Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um “Octógono” decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles.

hexa.png (4.4 KiB) Exibido 3857 vezes

A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do “Octógono”. Se a área desse quadrado é S, então a área do “Octógono” vale:
a) S(2 [tex3]\sqrt{2}+1)[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}+1)[/tex3]

b) S(2 [tex3]\sqrt{2}+2)[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}+2)[/tex3]

c) 2S([tex3]\sqrt{2}+1)[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}+1)[/tex3]

d) 2S([tex3]\sqrt{2}+2)[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}+2)[/tex3]

e) 4S([tex3]\sqrt{2}+1)[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}+1)[/tex3]

Resposta

---

E

[MatheusBorges]

Acho que seu gabarito está errado, posso estar ENGANADO, mas fica a resolução.
l=lado do retângulo e cateto dos triângulos.
Área do quadrado
[tex3]a^{2}=S[/tex3]

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[tex3]a^{2}=S[/tex3]

Área de um triângulo retângulo:
[tex3]\frac{l^{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{l^{2}}{2}[/tex3]

Dos 4 triângulos:
[tex3]2l^{2}=a^{2}=S(I)[/tex3]

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[tex3]2l^{2}=a^{2}=S(I)[/tex3]

Pitágora:
[tex3]2l^{2}=a^{2}(I)\\
l=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]2l^{2}=a^{2}(I)\\
l=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Área de um retângulo:
[tex3]l.a=[/tex3]

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[tex3]l.a=[/tex3]

Dos 4:
[tex3]4.l.a=a^{2}.2.\sqrt{2}=2.\sqrt{2}.S[/tex3]

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[tex3]4.l.a=a^{2}.2.\sqrt{2}=2.\sqrt{2}.S[/tex3]

Somando tudo:
[tex3]2S+2S\sqrt{2}=S.(2+2\sqrt{2})[/tex3]

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[tex3]2S+2S\sqrt{2}=S.(2+2\sqrt{2})[/tex3]

[Auto Excluído (ID:20876)]

Acho que seu gabarito está errado, posso estar ENGANADO, mas fica a resolução.
l=lado do retângulo e cateto dos triângulos.
Área do quadrado
[tex3]a^{2}=S[/tex3]

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[tex3]a^{2}=S[/tex3]

Área de um triângulo retângulo:
[tex3]\frac{l^{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{l^{2}}{2}[/tex3]

Dos 4 triângulos:
[tex3]2l^{2}=a^{2}=S(I)[/tex3]

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[tex3]2l^{2}=a^{2}=S(I)[/tex3]

Pitágora:
[tex3]2l^{2}=a^{2}(I)\\
l=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]2l^{2}=a^{2}(I)\\
l=\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Área de um retângulo:
[tex3]l.a=[/tex3]

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[tex3]l.a=[/tex3]

Dos 4:
[tex3]4.l.a=a^{2}.2.\sqrt{2}=2.\sqrt{2}.S[/tex3]

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[tex3]4.l.a=a^{2}.2.\sqrt{2}=2.\sqrt{2}.S[/tex3]

Somando tudo:
[tex3]2S+2S\sqrt{2}=S.(2+2\sqrt{2})[/tex3]

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[tex3]2S+2S\sqrt{2}=S.(2+2\sqrt{2})[/tex3]

Eu fiz para testar com valores reais e chego no mesmo gabarito que tu:
Adotando a=2 podemos descobrar o valor de x de cada lado do triângulo:
2²=x²+x²
4=2x²
x=[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Área dos triângulos:(x.x/2)
4.[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

.[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

/2
=4

Área dos retângulos: (x.a)
4.2.[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

=8 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Área do quadrado(S): (a²)
2.2
=4

Somando tudo:
4+8 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

+4
8 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

+8

Logo:
S(2 [tex3]\sqrt{2}+2)[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}+2)[/tex3]

Dê a solução para o Malf10 e não para mim

[Liss15]

Oi, MafIl10!
De fato, meu gabarito está equivocado! Perdoe-me isso e também a demora!

Mesmo assim, muito obrigada pela ajuda e paciência.

E Bart, obrigada pela ajuda também!

=D