Pré-Vestibular ⇒ (MACK - 74) Período de Função Trigonométrica Tópico resolvido

[vignaite10]

Muito obrigado pela atenção, galera.... e pelas respostas...

[GiovanaMSP]

Proponho uma solução alternativa que eu sugeri no fórum PIR2.

Lá vai:

Sejam [tex3]h(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h(x)[/tex3]

e [tex3]t(x)[/tex3]

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[tex3]t(x)[/tex3]

funções periódicas de períodos, respectivamente, iguais a [tex3]P_{h(x)}=a[/tex3]

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[tex3]P_{h(x)}=a[/tex3]

e [tex3]P_{t(x)}=b[/tex3]

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[tex3]P_{t(x)}=b[/tex3]

, [tex3]P_{h(x)}\neq P_{t(x)}[/tex3]

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[tex3]P_{h(x)}\neq P_{t(x)}[/tex3]

.

Teorema: se [tex3]\frac{P_{h(x)}}{P_{t(x)}}=\frac{a}{b}[/tex3]

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[tex3]\frac{P_{h(x)}}{P_{t(x)}}=\frac{a}{b}[/tex3]

, com [tex3]a, b\in \mathbb{Z}_+[/tex3]

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[tex3]a, b\in \mathbb{Z}_+[/tex3]

e primos entre si, então as funções [tex3]u(x)=h(x)+t(x)[/tex3]

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[tex3]u(x)=h(x)+t(x)[/tex3]

e [tex3]w(x)=h(x)t(x)[/tex3]

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[tex3]w(x)=h(x)t(x)[/tex3]

são periódicas de período [tex3]P_{u(x)}=P_{w(x)}=bP_{h(x)}=aP_{t(x)}[/tex3]

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[tex3]P_{u(x)}=P_{w(x)}=bP_{h(x)}=aP_{t(x)}[/tex3]

.

[tex3]f(x)=sen^2(3x)-cos(4x)\ \wedge\ sen^2\left ( 3y\right )=\frac{1}{2}[1-cos(6y)]\\\\  f(x)=\frac{1}{2}[1-cos(6x)]-cos(4x)\to f(x)=-\frac{1}{2}[-1+\underset{u(x)}{\underbrace{\overset{h(x)}{\overbrace{cos(6x)}}+\overset{t(x)}{\overbrace{2cos(4x)}}}}]\\\\P_{h(x)}=\frac{\pi }{3} \ \wedge\ P_{t(x)}=\frac{\pi }{2}\ \therefore \ \frac{P_{h(x)}}{P_{t(x)}}=\frac{2}{3}\ \therefore \ \boxed {P_{f(x)}=3P_{h(x)}=2P_{t(x)}=\pi }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=sen^2(3x)-cos(4x)\ \wedge\ sen^2\left ( 3y\right )=\frac{1}{2}[1-cos(6y)]\\\\  f(x)=\frac{1}{2}[1-cos(6x)]-cos(4x)\to f(x)=-\frac{1}{2}[-1+\underset{u(x)}{\underbrace{\overset{h(x)}{\overbrace{cos(6x)}}+\overset{t(x)}{\overbrace{2cos(4x)}}}}]\\\\P_{h(x)}=\frac{\pi }{3} \ \wedge\ P_{t(x)}=\frac{\pi }{2}\ \therefore \ \frac{P_{h(x)}}{P_{t(x)}}=\frac{2}{3}\ \therefore \ \boxed {P_{f(x)}=3P_{h(x)}=2P_{t(x)}=\pi }[/tex3]

Resolução no fórum PIR2: http://pir2.forumeiros.com/t156651-peri ... cao#548914