Pré-Vestibular ⇒ (UECE 2005) Radiciação

[Auto Excluído (ID:19677)]

(UECE-2005) Considerando o universo dos números reais, a desigualdade m²+ n²≥2mn é verdadeira:
a) Somente para números inteiros
b) Somente quando m≥ n
c) Para todos os números reais
d) Para todos os números positivos, exclusivamente

Resposta

---

c

Pra mim deu b. Me ajudem!!

[MatheusBorges]

Concorda comigo que :
[tex3](m-n)^{2}\geq 0\\
m^{2}+n^{2}\geq 2m.n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](m-n)^{2}\geq 0\\
m^{2}+n^{2}\geq 2m.n[/tex3]

c)

[MatheusBorges]

Isa, é c) na hora de escrever tinha na minha cabeça que a c) era d), enfim, veja que na demonstração a desigualdade independente de m e n, desde que os mesmo sejam pertencentes aos reais!

[Auto Excluído (ID:19677)]

É c) então porque (m-n)²≥0 então tirando a raiz fica módulo de m-n então dá pra fazer a intersecção de m≥n e n≥m né?

[MatheusBorges]

m-n está elevado ao quadrado, isso só pode ser positivo ou zero. Tem como um número pertencente aos reais elevado ao quadrado ser negativo?

[MatheusBorges]

E também não há porque tirar a raiz e só expandir o polinômio. O que o exercício pediu é sobre [tex3]m^{2}+n^{2}\geq 2.m.n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m^{2}+n^{2}\geq 2.m.n[/tex3]

e não [tex3]|m-n|\geq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|m-n|\geq 0[/tex3]

[petras]

isabelladias,

[tex3](m^2+n^2)\geq 2mn\rightarrow m^2-2mn+n^2\geq 0\rightarrow (m-n)^2\geq 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](m^2+n^2)\geq 2mn\rightarrow m^2-2mn+n^2\geq 0\rightarrow (m-n)^2\geq 0 [/tex3]

Como temos no primeiro membro uma potência de expoente 2, seu valor sempre será
positivo ou zero, portanto a igualdade se verifica para qualquer número real.