Pré-Vestibular ⇒ (UFMG-2005) Função do 2º grau Tópico resolvido

[Liliana]

Observe esta figura:

fçquadratica.JPG (4.03 KiB) Exibido 5711 vezes

Nessa figura, os pontos A e B estão sobre o gráfico da função de segundo grau y = ax² + bx + c. O ponto A situa-se no eixo das ordenadas e o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas.

Assim sendo, é CORRETO afirmar que o comprimento do segmento AB é

a) c.

b) -c/a.

c) b/a.

d) -b/a.

Resposta

---

d)

Analisando o gráfico, dá pra perceber que b>0 e a<0. Então eu pensei que o xv dividiria AB ao meio, então ->
xv= -b/2a -> xv= -b/2(-a) = b/2a
Então AB= 2xv= b/a
O que tem de errado nessa resolução??

[petras]

Xv como você calculou é b/a (positivo) e corresponde a coordenada x do vértice.
O que ele pede é o comprimento de AB que também precisa ser positivo. Como b é positivo e a é negativo a única alternativa que atende é a letra d)
-b/a = -(+)/(-) = (+). Coincidentemente , ele colocou o tamanho do segmento valendo -b/a para confundir.

a) 0
b) 0
c) (-)
d(+) V

[joaopcarv]

Complementando a análise do petras, podemos simplesmente fazer, para os pontos [tex3]\mathsf{A, \ B}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{A, \ B}[/tex3]

de ordenada [tex3]\mathsf{c \ \rightarrow}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{c \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{a\cdot x^2 \ + \ b\cdot x \ + \ c \ = \ c \ \rightarrow}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{a\cdot x^2 \ + \ b\cdot x \ + \ c \ = \ c \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{a \cdot x^2 \ + \ b \cdot x \ = \ 0 \ \rightarrow}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{a \cdot x^2 \ + \ b \cdot x \ = \ 0 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{x \ \cdot (a \ \cdot \ x \ + \ b) \ = \ 0 \ \rightarrow}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{x \ \cdot (a \ \cdot \ x \ + \ b) \ = \ 0 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{x \ = \ 0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{x \ = \ 0}[/tex3]

(para o ponto [tex3]\mathsf{A}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{A}[/tex3]

) e [tex3]\mathsf{x \ = \ \dfrac{-b}{a}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{x \ = \ \dfrac{-b}{a}}[/tex3]

(para o ponto [tex3]\mathsf{B}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{B}[/tex3]

)

A distância horizontal [tex3]\mathsf{AB \ = \ B \ - \ A \rightarrow}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{AB \ = \ B \ - \ A \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{AB \ = \ \dfrac{-b}{a} \ - \ 0 \ \rightarrow}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{AB \ = \ \dfrac{-b}{a} \ - \ 0 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{AB \ = \ \dfrac{-b}{a}}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{AB \ = \ \dfrac{-b}{a}}}}[/tex3]

[Liliana]

Xv como você calculou é b/a (positivo) e corresponde a coordenada x do vértice.
O que ele pede é o comprimento de AB que também precisa ser positivo.

Então... não seria a alternativa c)??
Ainda não entendi como pode ser a d)...
Continuo acreditando na minha resolução...
Não que ela esteja certa, mas só porque não consigo ver meu erro

[petras]

Liliana,

Antes de mostrar seu erro perceba que a alternativa c nunca será possível pois com b > 0 e a<0 teremos b/a um número negativo o que não é compatível com a medida do segmento AB.

Seu erro está na passagem de xv= -b/2a para xv= - b/2(-a) = b/2a . Como xv pode ao mesmo tempo ser igual a -b/2a e b/2a?
Você não pode colocar o sinal antes do a pra fazer a resolução literal pois você está alterando a expressão.
Veja que utilizei os sinais apenas para estudar o sinal do resultado [-b/a = -(+)/(-) = (+)]. diferente de você que ao trocar o sinal de "a" alterou a expressão da fórmula para resolvê-la. Na sua fórmula se substituirmos os valores nunca chegaremos no resultado correto pois ao substituir teremos o valor com sinal trocado pois você trocou o sinal da variável.

Ex: -x^2 +2x+4=0
-b/2a = -2/(-2) = 1 correto
-b/2.(-a) = -2/-(-2) = -2/2 = -1 incorreto

[Liliana]

petras,

MUITO obrigada!!!
Finalmente consegui entender
Obrigada pela paciência!!