Pré-Vestibular ⇒ Mackenzie - Regra de Girard Tópico resolvido

[raphael133]

Se as 3 raízes reais,não necessariamente distintas,do polinômio p(x) =[tex3]x^{3} - a^{3}x^{2}+ax-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{3} - a^{3}x^{2}+ax-1[/tex3]

[tex3]a\in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]a\in \mathbb{R}[/tex3]

,formam uma P.G.então o valor de [tex3]a-a^{3}[/tex3]

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[tex3]a-a^{3}[/tex3]

é:

a)-2 b)-1 c)0 d)1 e)2

Resposta

---

C)0

Sei que há uma resolução em que [tex3]r_{2}^{2}=r^{1}.r^{3}[/tex3]

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[tex3]r_{2}^{2}=r^{1}.r^{3}[/tex3]

r1.r2.r3 =1 [tex3]\rightarrow r2 .r_{2}^{2}[/tex3]

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[tex3]\rightarrow r2 .r_{2}^{2}[/tex3]

=1 [tex3]\rightarrow r2=1[/tex3]

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[tex3]\rightarrow r2=1[/tex3]

Joga no P(1);[tex3]a-a^{3}=0[/tex3]

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[tex3]a-a^{3}=0[/tex3]

Porém,a minha dúvida é se há como fazer por essa maneira:
r1+r2+r3 = [tex3]\frac{-b}{a'}\rightarrow \frac{r2}{q}+r2+ r2.q =a^{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{-b}{a'}\rightarrow \frac{r2}{q}+r2+ r2.q =a^{3}[/tex3]

???
Algúem?

[jvmago]

Primeiramente teremos [tex3]p(x)=x^3-a^3x^2+ax-1[/tex3]

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[tex3]p(x)=x^3-a^3x^2+ax-1[/tex3]

aplicando nas relações do titio girard:

[tex3]\begin{cases}
r_{1}+r_{2}+r_{3}=a^3 \\
r_{1}*r_{2}+r_{1}*r_{3}+r_{2}*r_{3}=a \\
r_{1}*r_{2}*r_{3}=1
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
r_{1}+r_{2}+r_{3}=a^3 \\
r_{1}*r_{2}+r_{1}*r_{3}+r_{2}*r_{3}=a \\
r_{1}*r_{2}*r_{3}=1
\end{cases}[/tex3]

Se as raízes estão em PG, teremos o seguinte: [tex3](r_{1},r_{2},r_{3})=(\frac{r}{q},r,rq)[/tex3]

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[tex3](r_{1},r_{2},r_{3})=(\frac{r}{q},r,rq)[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\frac{r}{q}+r+rq=a^3 \\
r*\frac{r}{q}+\frac{r}{q}*rq+r*rq=a \\
\frac{r}{q}*r*rq=1
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
\frac{r}{q}+r+rq=a^3 \\
r*\frac{r}{q}+\frac{r}{q}*rq+r*rq=a \\
\frac{r}{q}*r*rq=1
\end{cases}[/tex3]

Da ultima equação tiramos [tex3]r=1[/tex3]

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[tex3]r=1[/tex3]

, substituindo nas outras 2 temos:

[tex3]\begin{cases}
\frac{1}{q}+1+q=a^3 \\
\frac{1}{q}+1^2+q=a \\
r=1
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
\frac{1}{q}+1+q=a^3 \\
\frac{1}{q}+1^2+q=a \\
r=1
\end{cases}[/tex3]

Observe que [tex3]a^3=a[/tex3]

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[tex3]a^3=a[/tex3]

então [tex3]a^3-a=a-a^3=0[/tex3]

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[tex3]a^3-a=a-a^3=0[/tex3]

[raphael133]

Pefeito!Obrigado ...
Um dia chego ai kkk
Abraço <3