Pré-Vestibular ⇒ (FGV-SP) Matrizes e Determinantes Tópico resolvido

[KSF]

Boa tarde, estou com duvidas para solucionar este problema.

O determinante [tex3]\left| \begin{array}{rrcccrr}
a &a& a &a \\
a &a& a &b\\
a &a& b &b\\
a&b&b&b
\end{array} \right|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left| \begin{array}{rrcccrr}
a &a& a &a \\
a &a& a &b\\
a &a& b &b\\
a&b&b&b
\end{array} \right|[/tex3]

é igual a:

a) [tex3]b^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^3[/tex3]

b) [tex3]a^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^4[/tex3]

c) [tex3](a-b)^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-b)^4[/tex3]

d) [tex3]a\cdot(a-b)^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\cdot(a-b)^3[/tex3]

e) [tex3]0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0[/tex3]

Se alguém puder me ajudar ficarei grato.

[petras]

[tex3]\ \left[ \begin{array}{rrcccrr}
a &a& a &a \\
a &a& a &b\\
a &a& b &b\\
a&b&b&b
\end{array} \right]\rightarrow L2-L1, L3-L1, L4-L1\rightarrow \left[ \begin{array}{rrcccrr}
a &a& a &a \\
0 &0& 0 &-a+b\\
0 &0& -a+b &-a+b\\
0&-a+b&-a+b&-a+b
\end{array} \right]\ L2 \leftrightarrow L4\rightarrow -D = \left[ \begin{array}{rrcccrr}
a &a& a &a \\
0 &-a+b& -a+b &-a+b\\
0 &0& -a+b &-a+b\\
0&0&0&-a+b
\end{array} \right] = [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ \left[ \begin{array}{rrcccrr}
a &a& a &a \\
a &a& a &b\\
a &a& b &b\\
a&b&b&b
\end{array} \right]\rightarrow L2-L1, L3-L1, L4-L1\rightarrow \left[ \begin{array}{rrcccrr}
a &a& a &a \\
0 &0& 0 &-a+b\\
0 &0& -a+b &-a+b\\
0&-a+b&-a+b&-a+b
\end{array} \right]\ L2 \leftrightarrow L4\rightarrow -D = \left[ \begin{array}{rrcccrr}
a &a& a &a \\
0 &-a+b& -a+b &-a+b\\
0 &0& -a+b &-a+b\\
0&0&0&-a+b
\end{array} \right] = [/tex3]

O determinante de uma matriz triangular, seja ela superior ou inferior, será sempre o produto dos elementos da diagonal principal

[tex3]-D = a(-a+b)(-a+b)(-a+b)=a(-a^4+ab^3-3a^2b^2+3a^3b) \rightarrow D = a (a^4-ab^3+3a^2b^2-3a^3b) = \boxed{a(a-b)^3} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-D = a(-a+b)(-a+b)(-a+b)=a(-a^4+ab^3-3a^2b^2+3a^3b) \rightarrow D = a (a^4-ab^3+3a^2b^2-3a^3b) = \boxed{a(a-b)^3} [/tex3]

[Killin]

Põe o ''a'' em evidência na primeira linha e aplica a Regra de Chió. O determinante fica imediatamente [tex3]a[-(b-a)^3]=a(a-b)^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[-(b-a)^3]=a(a-b)^3[/tex3]

[Killin]

Vou fazer bonitinho no caso de eu não ter sido claro:

[tex3]\left| \begin{array}{rrcccrr}
a &a& a &a \\
a &a& a &b\\
a &a& b &b\\
a&b&b&b
\end{array} \right|=a \left| \begin{array}{rrcccrr}
1 &1& 1 &1 \\
a &a& a &b\\
a &a& b &b\\
a&b&b&b
\end{array} \right|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left| \begin{array}{rrcccrr}
a &a& a &a \\
a &a& a &b\\
a &a& b &b\\
a&b&b&b
\end{array} \right|=a \left| \begin{array}{rrcccrr}
1 &1& 1 &1 \\
a &a& a &b\\
a &a& b &b\\
a&b&b&b
\end{array} \right|[/tex3]

Aplicando a Regra de Chió, fica:

[tex3]a \left| \begin{array}{rrcccrr}

0&0 &b-a\\
0& b-a &b-a\\
b-a&b-a&b-a
\end{array} \right|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a \left| \begin{array}{rrcccrr}

0&0 &b-a\\
0& b-a &b-a\\
b-a&b-a&b-a
\end{array} \right|[/tex3]

Agora é só usar a Regra de Sarrus, que nos dá:

[tex3]a[0-(b-a)^3]=a(a-b)^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[0-(b-a)^3]=a(a-b)^3[/tex3]