Pré-Vestibular ⇒ Geometria Plana UNB Tópico resolvido

[gama12]

Uma circunferência de diâmetro igual a 2 rola sem deslizar, por dentro de uma segunda circunferência de diâmetro igual a 4, onde O é origem de um plano complexo, como ilustram as figuras abaixo nas quais P é um ponto fixado sobre a circunferência menor e S é um ponto da circunferência maior, que coincide com O no momento inicial.

IMG_20180314_115249978.jpg (43.39 KiB) Exibido 1066 vezes

Considera a o ângulo SÔQ e b o ângulo PČQ, nos quais Q é um ponto de contato das duas circunferências em um determinado instante. Supondo que OS esteja sobre o eixo real, julgue os itens abaixo

(1) Os arcos menores PQ e SQ têm o mesmo comprimento
(2) Qualquer que seja o ângulo a, P será sempre um número real

Resposta

---

1-errado, 2-certo

[jvmago]

Note que [tex3]b=2a[/tex3]

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[tex3]b=2a[/tex3]

então os arco [tex3]2SQ=PQ[/tex3]

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[tex3]2SQ=PQ[/tex3]

tornando falsa a primeira afirmativa.
Observe agora que [tex3]CP=OC=OP[/tex3]

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[tex3]CP=OC=OP[/tex3]

então o triangulo [tex3]OCP[/tex3]

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[tex3]OCP[/tex3]

é equilátero e os pontos serão sempre reais.

(1) falsa
(2) verdadeira

[gama12]

Desculpa mas não compreendo.
Se b = 2a os arcos deveriam ser iguais, pois:
(a÷360)x 2π2 = (2a÷360)x 2π1

[jvmago]

Desculpa mas não compreendo.
Se b = 2a os arcos deveriam ser iguais, pois:
(a÷360)x 2π2 = (2a÷360)x 2π1

Observe que [tex3]a=60°\rightarrow b=120°[/tex3]

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[tex3]a=60°\rightarrow b=120°[/tex3]

[tex3]PQ=\frac{2\pi *r}{3}=\frac{2\pi *1}{3}=\frac{2\pi }{3}[/tex3]

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[tex3]PQ=\frac{2\pi *r}{3}=\frac{2\pi *1}{3}=\frac{2\pi }{3}[/tex3]

[tex3]QS=\frac{2\pi *R}{6}=\frac{2\pi *2}{6}=\frac{\pi }{3}[/tex3]

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[tex3]QS=\frac{2\pi *R}{6}=\frac{2\pi *2}{6}=\frac{\pi }{3}[/tex3]

[tex3]PQ=2*SQ[/tex3]

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[tex3]PQ=2*SQ[/tex3]

[gama12]

Perfeito, fiz confusão, mas ainda não compreendo a (2) , mesmo se for equilátero o que prova que o ponto P ficará somente no eixo dos reais e não sairá nenhum momento deste ?

[jvmago]

Perfeito, fiz confusão, mas ainda não compreendo a (2) , mesmo se for equilátero o que prova que o ponto P ficará somente no eixo dos reais e não sairá nenhum momento deste ?

Faça os eixos com origem em [tex3]0[/tex3]

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[tex3]0[/tex3]

e teremos que [tex3]OS[/tex3]

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[tex3]OS[/tex3]

é um segmento com distancia [tex3]0->4[/tex3]

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[tex3]0->4[/tex3]

ou [tex3]0->-4[/tex3]

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[tex3]0->-4[/tex3]

. Note que quanto rotacionar o circulo menor, os pontos possíveis serão [tex3]-4\leq p\leq 4[/tex3]

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[tex3]-4\leq p\leq 4[/tex3]

[gama12]

Perdão, omiti a parte mais importante da questão, por isso a confusão. Ele fala que o centro O é também origem de um plano complexo, então P só pode ficar no eixo x e em nenhum momento sair deste, é isso que eu não compreendo, vou editar e corrigir

[jvmago]

Perdão, omiti a parte mais importante da questão, por isso a confusão. Ele fala que o centro O é também origem de um plano complexo, então P só pode ficar no eixo x e em nenhum momento sair deste, é isso que eu não compreendo, vou editar e corrigir

De qualquer maneira, apenas imagine o circulo menor girando em volta de [tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

e notará que sempre estará sobre essa reta