Primeiramente, a altura relativa à base de um triângulo isósceles, é também mediana e bissetriz.
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Perceba que o [tex3]\Delta _{(ABH)}[/tex3]
é semelhante ao [tex3]\Delta _{(OBE)}[/tex3]
[tex3]\rightarrow [/tex3]
(AA - Ângulo, Ângulo).
Montando a semelhança, do [tex3]\Delta [/tex3]
menor para o [tex3]\Delta [/tex3]
maior, fica:
[tex3]\frac{r}{a} = \frac{r\sqrt{24}}{6r}\rightarrow (I)[/tex3]
, agora iremos achar [tex3]a[/tex3]
em função de [tex3]r[/tex3]
.
Fazendo a área do [tex3]\Delta _{(ABC)}[/tex3]
:
[tex3]\frac{2a.6r}{2}=3\sqrt{6}[/tex3]
, efetuando as contas: [tex3]a=\frac{\sqrt{6}}{2r}\rightarrow (II)[/tex3]
.
Substituindo [tex3]II[/tex3]
em [tex3]I[/tex3]
, temos:
[tex3]\frac{r}{\frac{\sqrt{6}}{2r}}=\frac{r\sqrt{24}}{6r}[/tex3]
, efetuando as contas(indo para o final das contas), teremos:
[tex3]2r^3=\frac{\sqrt{144}}{6}[/tex3]
[tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]2r^3=\frac{12}{6}\rightarrow2r^3=2 \therefore \boxed{r=1}[/tex3]