Pré-Vestibular ⇒ (UFMG) Distância entre funções Tópico resolvido

[Liliana]

Observe esta figura.

fcc.JPG (4.14 KiB) Exibido 3398 vezes

Nela, estão representados os gráficos das funções f(x) =x²/2 e g(x) = 3x – 5. Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre o gráfico da função f e a outra extremidade sobre o gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim, o comprimento do segmento S é
A) 1/2
B ) 3/4
C) 1
D) 5/4

Resposta

---

A)

Eu pensei dessa forma:
Como as duas funções serão paralelas ao Oy, então ambas possuem o mesmo x. O comprimento S, então, será o módulo de f(x)-g(x), o que irá cair numa equação do segundo grau. Mas, o delta dessa equação é -1. Não sei como prosseguir, nem encontrar meu erro...

[petras]

Como x será o mesmo para as duas funções teremos a distância d = f(x) - g(x) = [tex3]\frac{x^2}{2}-(3x-5) = \frac{x^2}{2}-3x+5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x^2}{2}-(3x-5) = \frac{x^2}{2}-3x+5[/tex3]

Valor mínimo = [tex3]\frac{-\Delta}{4a}=\frac{9-10}{2}=-(-\frac{1}{2}) = \boxed{\frac{1}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{-\Delta}{4a}=\frac{9-10}{2}=-(-\frac{1}{2}) = \boxed{\frac{1}{2}}[/tex3]

[Liliana]

Mas não deveria dar certo fazendo por bhaskara, e depois substituindo??

[petras]

Liliana, não entendi sua dúvida, Você resolveria bhaskara e substituiria o que e onde?
O delta negativo diz apenas que a parábola está acima do eico y. Essa nova função obtida da diferença é apenas uma função auxiliar que lhe dará apenas o menor comprimento pelas características do vértice de uma parábola. Ela não lhe dará as coordenadas do ponto onde você encontrará esse comprimento, Caso você queira resolver para identificar os pontos e fazer a diferença de suas ordenadas teria que fazer o seguinte:

Calcule a equação genérica das retas tangentes a 3x-5. O coeficiente angular você já tem e ficará com uma incógnita (b).
Descubra a interseção dessa nova reta com f(x). Utilize o delta igual a zero como condição de tangência e descobrirá o valor da incógnita b.
Dessa forma terá a equação completa da tangente a f(x) e portanto poderá calcular as coordenadas do ponto de interseção (x,y).
Com a coordenada x do ponto de interseção substitua em g(x) e descubra o seu valor corresponde de y1.
Agora basta fazer a diferença da coordenada y do ponto de interseção com essa coordenada y1 e chegará a solução.


Caso haja alguma dúvida nesse modo de resolução é só falar que posto a mesma.

[Liliana]

É que eu pensei que, como f(x) e g(x) são paralelos ao eixo y, então ambas teriam o mesmo valor de x, e fazendo f(x)-g(x)= x²/2 - 3x + 5, se eu encontrasse o x, que é o mesmo para ambos, eu substituiria e acharia o valor de S, já que S é módulo de f(x)-g(x)

[petras]

Mas f(x) e g(x) não são paralelos a y. O que é paralelo é o segmento com um ponto em f(x) e outro em g(x).