Pré-Vestibular ⇒ Complexos (IME) Tópico resolvido

[LucasPinafi]

Sejam [tex3]x_1,x_2, x_3 ,...,x_n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1,x_2, x_3 ,...,x_n[/tex3]

as raízes de [tex3]x^n +x^{n-1} + \cdots + x + 1 = 0[/tex3]

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[tex3]x^n +x^{n-1} + \cdots + x + 1 = 0[/tex3]

. Calcule:
[tex3]\sum_{j=1}^n \frac{1}{x_j -1}[/tex3]

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[tex3]\sum_{j=1}^n \frac{1}{x_j -1}[/tex3]

Resposta

---

-n/2

[Auto Excluído (ID:12031)]

o polinômio com raízes [tex3]x_j[/tex3]

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[tex3]x_j[/tex3]

é esse [tex3]p(z) = \sum z^i = \prod (z-x_j)[/tex3]

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[tex3]p(z) = \sum z^i = \prod (z-x_j)[/tex3]

o polinômio com raízes [tex3]x_j-1[/tex3]

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[tex3]x_j-1[/tex3]

é
[tex3]p(z) = \prod (z - x_j +1) [/tex3]

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[tex3]p(z) = \prod (z - x_j +1) [/tex3]

fazendo [tex3]z' = z+1[/tex3]

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[tex3]z' = z+1[/tex3]

temos [tex3]p(z) = \prod (z' - x_j) = \sum z' ^i[/tex3]

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[tex3]p(z) = \prod (z' - x_j) = \sum z' ^i[/tex3]

logo [tex3]p(z) = \sum_{i=1}^n (z+1)^i +1 = 1+\sum_{i=1}^n \sum_{p=0}^i {i \choose p} z^p[/tex3]

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[tex3]p(z) = \sum_{i=1}^n (z+1)^i +1 = 1+\sum_{i=1}^n \sum_{p=0}^i {i \choose p} z^p[/tex3]

nos interessam o termo independente [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

e o coeficiente de [tex3]z[/tex3]

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[tex3]z[/tex3]

[tex3]B[/tex3]

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[tex3]B[/tex3]

então fixe [tex3]p=0[/tex3]

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[tex3]p=0[/tex3]

[tex3]A = 1+ \sum_{i=1}^n {i \choose 0} = n+1 [/tex3]

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[tex3]A = 1+ \sum_{i=1}^n {i \choose 0} = n+1 [/tex3]

e fixe [tex3]p =1[/tex3]

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[tex3]p =1[/tex3]

[tex3]B = \sum_{i=1}^n {i \choose 1} = \frac{n(n+1)}{2}[/tex3]

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[tex3]B = \sum_{i=1}^n {i \choose 1} = \frac{n(n+1)}{2}[/tex3]

queremos então [tex3]\frac{-B}{A}[/tex3]

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[tex3]\frac{-B}{A}[/tex3]

(das relações de Girard) [tex3]= -\frac {n}{2}[/tex3]

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[tex3]= -\frac {n}{2}[/tex3]

[LucasPinafi]

Perfeito, mano. Valeu
tava tentando fazer por complexos

[Andre13000]

Um método muito similar:

Considere [tex3]f(z)=\prod(x-x_i)[/tex3]

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[tex3]f(z)=\prod(x-x_i)[/tex3]

[tex3]\ln f=\sum \ln (x-x_i)\\
\frac{f'}{f}=\sum \frac{1}{x-x_i}
\\
\sum_{}\frac{1}{x_i-1}=-\frac{f'(1)}{f(1)}=-\frac{\sum_{k=1}^n k}{\sum_{k=0}^n 1}=-\frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{1}{(n+1)}=-\frac{n}{2}[/tex3]

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[tex3]\ln f=\sum \ln (x-x_i)\\
\frac{f'}{f}=\sum \frac{1}{x-x_i}
\\
\sum_{}\frac{1}{x_i-1}=-\frac{f'(1)}{f(1)}=-\frac{\sum_{k=1}^n k}{\sum_{k=0}^n 1}=-\frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{1}{(n+1)}=-\frac{n}{2}[/tex3]

Conforme a resposta do sousóeu.