Pré-Vestibular ⇒ (UNIG-2018.1) Polinômios Tópico resolvido

[doraoliveira]

Sabendo-se que o polinômio [tex3]p(x)=64x^4+336x^3+588x^2+343x[/tex3]

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[tex3]p(x)=64x^4+336x^3+588x^2+343x[/tex3]

tem uma raiz tripla, é correto concluir que ela está no intervalo

Resposta

---

[-2,-1[

[lorramrj]

Bom achar a raíz tripla é bem fácil:
[tex3]p(x)=64x^4+336x^3+588x^2+343x = x(64x^3 + 336x^2+588x+343)=0[/tex3]

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[tex3]p(x)=64x^4+336x^3+588x^2+343x = x(64x^3 + 336x^2+588x+343)=0[/tex3]

Pelas Relações de Girard, como a raíz é tripla:
[tex3]3k = \frac{-b}{a} = \frac{-336}{64}\rightarrow \boxed{k=-1.75}[/tex3]

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[tex3]3k = \frac{-b}{a} = \frac{-336}{64}\rightarrow \boxed{k=-1.75}[/tex3]

Temos: [tex3]-2 < -1.75 < -1[/tex3]

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[tex3]-2 < -1.75 < -1[/tex3]

Caso não soubéssemos a raíz poderíamos usar o Teorema da Bolzano:
Testando para [tex3]x\in [-5,5][/tex3]

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[tex3]x\in [-5,5][/tex3]

, certamente iria notar em [tex3]x=-2[/tex3]

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[tex3]x=-2[/tex3]

e [tex3]x=-1[/tex3]

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[tex3]x=-1[/tex3]

Analisamos as imagens.Se ocorrer troca de sinais, então podemos concluir certamente que a raíz está dentro desse intervalo.

[tex3]f(-2) = 2[/tex3]

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[tex3]f(-2) = 2[/tex3]

[tex3]f(-1)= -27[/tex3]

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[tex3]f(-1)= -27[/tex3]

Como [tex3]f(-2).f(-1) <0[/tex3]

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[tex3]f(-2).f(-1) <0[/tex3]

, então [tex3]k \in ]-2,-1[[/tex3]

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[tex3]k \in ]-2,-1[[/tex3]

tal que [tex3]f(k)=0[/tex3]

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[tex3]f(k)=0[/tex3]

.